华科-机械工程测试信息信号分析-课件-专题2-小波分析

MEASUREMENTINFORMATIONSIGNALANALYSISINMECHANICALENGINEERING机械工程测试•信息•信号分析机械科学与工程学院机械电子信息工程系Dr.ShiyuanLiuPage2WaveletAnalysis小波分析Dr.ShiyuanLiuPage3本周讨论内容小波相关历史回顾连续小波变换(ContinuousWaveletTransform)离散小波变换(DiscreteWaveletTransform)小波包变换(WaveletPacketTransform)应用(Applications)Dr.ShiyuanLiuPage4回顾1：Fourier变换•JeanB.JosephFourier(1768-1830)两大贡献：2222()(),()()(),()iftiftiftiftXfxtextedtxtXfeXfedf00.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810510152025050100150TimeMagnitudeMagnitudeFrequency(Hz)00.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810510152025050100150TimeMagnitudeMagnitudeFrequency(Hz)•不足：对整个信号进行分析，不能说明频率随时间变化的关系。“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”Dr.ShiyuanLiuPage5回顾2：短时Fourier变换•DennisGabor(1900-1979)于1946年采用滑动窗口观察信号，计算局部时间段内的FT变换，得局部频率。2,,STFT(,),()()iftxfffxhxthtedt14tf12tfor?不足：不利于分析时变信号高频信号持续时间短，而低频长。希望对于高频采用小的时间窗，低频使用大时间窗进行分析。特点:(1)时频分辨率固定，取决于窗函数的时宽和带宽(2)窗函数的时宽△t和带宽△f满足不确定性原理Dr.ShiyuanLiuPage6不确定性原理(HeisenbergUncertaintyPrinciple)Cohen,L..Time-frequencydistributions-areview.ProceedingsoftheIEEEVol.77(7):941–981,Jul1989.时间和频率的分辨率不能同时无限高。鱼和熊掌不可兼得。选鱼还是熊掌呢？现象:电子位置与动量不能同时准确的测量/2pq结论：模型：[,]pqpqqpiDr.ShiyuanLiuPage7回顾3：小波变换•1984年法国的地球物理学家JeanMorlet在进行石油勘探的地震数据处理分析时与法国理论物理学家A.Grossman一起提出了小波变换(wavelettransform,WT)的概念。•1910年Haar给出了矩形基函数即后来的Haar小波函数。•1989年S.Mallat和Y.Meyer提出了多分辨分析。Dr.ShiyuanLiuPage8基本数学概念向量空间和函数空间复共轭向量空间函数空间基向量正交线性表示3,,ijk,0,1ijijiiiia,b,cVaibjck2L函数正交1212(),()(),()0(),()(),()11,2iiiiftftftftdtftftftftdti()10sin()1,2,;0cos()1,2,;0uttTntntTntntT正交基函数01212()coscos2+sinsin20tTftaatatbtbt函数分解*()abiabiabi()()exp(z)=exp(z)fzfz如nDr.ShiyuanLiuPage9小波的基本思想：函数的平移与伸缩tbttt)(t21),(aat2),(aattbtb移位收缩扩展收缩+平移扩展+平移2),(aabt21),(aabt)(bt大尺度看全局小尺度看细节尺度因子a移位因子bDr.ShiyuanLiuPage10连续小波变换(CWT)连续小波变换(CWT))(),()()(),(WT;21ttxdtabttxababax基本小波函数的平移与伸缩)(||)(21;abtatba基本小波函数)(tx(t)bt)(||21abtaDr.ShiyuanLiuPage11基本小波函数221/2()()tbatdtadt满足允许条件2|()|||dΨ20()0()0tdtΨttHaar小波其它,015.0,15.00,1)(tttMexicanHat小波222)1(32)(tetttMorlet小波22/4200)(1)(tjtjeeet几种基本小波常用于地震波信号处理常用于教学常用于信号瞬态成份识别基本小波条件波形能量为1能量不变性2()1tdtDr.ShiyuanLiuPage12小波函数及其频谱ttt)(t21),(aat2),(aatω收缩扩展ωω)(Ψ21),(aaaΨ2),(aaaΨFT扩展收缩41ConstantΨfftConstant''ΨΨΨΨffffDr.ShiyuanLiuPage13CWT的性质•叠加性质若的CWT是,那么的CWT是•时移不变性若的CWT是,那么的CWT是•尺度伸缩共变性若的CWT是,则的CWT是•Moyal原理若的CWT是,则特别地,当则有12WT(,)WT(,)WT(,)zxyabkabkab),(baWTx)(tx)(tx(),()xtytWT(,),WT(,)xyabab12()()y(t)ztkxtkWT(,)xab)(tx),(baWTx()()ytxt),(1),(baWTbaWTxy(),()xtytWT(,),WT(,)xyabab20()WT(,),WT(,)(),(),xyababCxtytCd其中()()xtyt22201(,)()xaWTabdadbCxtdtcDr.ShiyuanLiuPage14CWT的物理解释ConstantΨΨffx(t)WTx(a,b)BandpassFilter)(*,tbatf02f04f0f=af0带通滤波器解释信号x(t)通过中心分析频率为f的带通滤波器滤波器的带宽△f与中心分析频率f有关，两者之比为常数Dr.ShiyuanLiuPage15CWT的分辨率时间分辨率由伸缩小波函数的时宽△t所决定频率分辨率由伸缩小波函数的带宽△f所决定时间分辨率和频率分辨率都随中心分析频率f而变化对于高频信号，用窄时窗（宽带宽），则时域分辨率高对于低频信号，用宽时窗（窄带宽），则频率分辨率高分析频带按指数划分(如二进划分)，每一带宽对应一个尺度(级)tfΔtΔfConstantΨΨff41ConstantΨffttaatbtaatb2,2afafafaf2,2Dr.ShiyuanLiuPage16CWT与STFT的比较tf02f04f0tf02f04f0tfΔtΔfdethxftfjx2)()(),(STFTdtabttxabax)()(),(WT21tfΔtΔfDr.ShiyuanLiuPage17CWT的数学解释CWT是原信号与一系列基函数的内积基函数是由基本小波经平移(因子b)和伸缩(因子a)得到的系列函数CWT表明了原信号与某个特定基函数的“相似”程度dtabttxattxbabax)()()(),(),(WT21;)(||)(21;abtatba原信号的重构（连续小波逆变换）重构需要基本小波满足允许条件原信号也可看成是按基函数的展开(展开系数就是CWT)2;)(),(WT1)(adadbtbaCtxbaxdΨC|||)(|2Dr.ShiyuanLiuPage18小波变换示意Dr.ShiyuanLiuPage19CWT实现过程和结果1.取一个小波与信号的最前面部分比较;2.计算小波系数C,C代表小波和这段数据的相关性，即C越大,两者越相似;3.移动小波,重复步骤1和2,一直遍历整个数据;4.对小波进行缩放,重复步骤1到3;5.在所有小波尺度下,重复上述步骤.Dr.ShiyuanLiuPage20离散小波变换(DWT)基本小波函数的离散平移与伸缩/2,000()()jjjktaatkb000001,0,,jjaaabkjZbkab1/2;()||()abtbtaa小波“级”：j小波级大，则尺度小在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。Dr.ShiyuanLiuPage21离散小波变换(DWT)（二进）离散小波变换(DWT)/2,00(),()2()(2)a=2,1jjjkjkdxttxttkdtb原信号的重构（二进离散小波逆变换）ZjZkkjjktdtx)()(,这实际上是对CWT的离散化，并不是真正意义上的离散变换Dr.ShiyuanLiuPage22DWT要求•能提供足够信息分析信号和重构信号；•高的计算效率；•容易实现；•能在不同频带内以不同的分辨率分析信号；•能将信号分解成粗糙部分和细节部分。Dr.ShiyuanLiuPage23基本尺度函数)2(2)(2/,kttjjkj)2(2)(2/,kttjjkj基本尺度函数)(t基本小波函数)(t平移+伸缩两尺度方程()2(2)()2(2)kkZkkZthtktgtk{hk}和{gk}称为两尺度序列，且均与j无关，只与尺度函数和小波函数相关{hk}和{gk}都是由有限个数组成的序列如果小波函数簇全正交，则{hk}和{gk}满足*1)1(kkkhg尺度函数构建小波函数Dr.ShiyuanLiuPage24DWT的快速算法（S.Mallat1989）111(2)21(2)2jjkllZjjkllZcchmkdcgmk递推分解与重构公式（金字塔算法）c0……c1d1c2d2cNdN只对cj进行继续分解，分解过程是递推的。对于数字信号的分解，可以直接将其定义为c0，则分解过程是完全离散化的，而且分解过程的计算只需要知道两尺度序列，甚至不涉及尺度函数和小波函数的具体形式。1(2)(2)jjjklllZlZcchkldgkl快速分解快速重构}{jkcjc}{jkdjdDr.ShiyuanLiuPage25DWT快速算法的物理意义ZkfkikZkfkikegfGehfH22)()(递推分解公式的频域表示（共轭滤波器）00.20.40.60.8100.51|H(f)||G(f)|c0c1…d1H2G2c2d2H2G2cNdNH2G2待分析信号通过H(f)和G(f)分别进行低通和高通滤波滤波的结果