常用矢量公式

数学准备知识§1矢量代数一．矢量定义垐,,AAAAAAAA（单位矢量）在坐标系中31iiiAAe直角系zyzAAiAjAk方向余弦：cos,cos,cos,coscoscosxyzAxAyAzAeeeAAAA31222221231()iiAAAAAA二．矢量运算加法：ABBA交换律()()ABCABC结合律31()iiiiABABe满足平行四边形法则标量积：31cosiiiABABABABBA交换律()ABCABAC分配律矢量积：123123123sinneeeABABeAAABBB()ABCABAC分配律ABBA不满足交换律混合积：123123123()()()AAAABCBCACABBBBCCC双重矢积：()()()()()ABCBACCABACBABC（点3乘2，点2乘3）()()ABCABC三．矢量微分ˆˆdAdAdAAAdtdtdt()dABdBdAABdtdtdt()dABdBdAABdtdtdt四．并矢与张量并矢：AB(一般ABBA)，有九个分量。若某个量有九个分量，它被称为张量33,1,iiijijijijijTABABeeTeeijee为单位并矢，张量的九个基。矢量与张量的矩阵表示：123,iiAAAeAAA或123(,,)AAAA13123211223313(,,)iiiBABAAABABABABABBTAB111213212223313233TTTTTTTTTT单位张量：31ijiee100010001张量运算：,()iijijjijTVTVee与矢量点乘：ABCABCACBACBCBACBABCABCACABCABBCABACBAC与矢量叉乘：ABCABCCABCAB并矢并矢两并矢点乘：ABCDABCDABCADCDAB(并矢)两并矢二次点乘：:ABCDBCAD标量与单位张量点乘：CCCABABAB:ABAB课堂练习（15-20分钟）1．计算ABAB2BA2．求证，Mbacabc与矢量C垂直。（求MC）。3．计算下列各式：⑴()aab⑵()aba⑶()jik⑷()kij（0，2()abaab，－1，1）4．证明下列各式：⑴()()()()()()abcdacbdadbc⑵()()()0abcbcacab证：⑴()()[()]abcdcdab[()()]()()()()()()()()cdbadabbcadbcbdaacbdbcad⑵()()()abcbcacab()()()()()()0acbabcbacbcacbacab§2.场的概念和标量场的梯度一、场的概念：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。描述场用一个空间中和时间坐标的函数：(,,,)(,)(,,,)(,)xyztxtAxyztAxt标量场矢量场当,A与t无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如,A随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。二、标量场的梯度在,MM两点全微分：ddxdydzxyzxyzddxedyedzexyzdeeeddxyzlded（ded，d方向上的单位矢量）cos（为与d之间的夹角）在M点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即max0,dd,定义梯度grad意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征。已知梯度即可求出沿任一方向的方向导致。等值面：()x常数的曲面称为等值面。梯度与等值面的关系：梯度等值面。证：对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。即cos的为2，所以与等值面垂直。三、矢量微分算子（直角坐标系中的表示形式）xyzeeexyz具有矢量性质，分量是微分符号。xyzeeexyz，，不能互换它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。yxzxyzxxyyzzAAAAeeeeAeAeAxyzxyzyyxxzzxyzAAAAAAAeeeyzzxxyxyzxyzeeexyzAAA四、举例（1）求半径r的数值12222rrxxyyzz的梯度。此例中,PP点均可变动。一般称P为源点（一后电场中电荷所在点）。P为场点（观测点）。解：固有两个变量,,xyz和,,xyz我们可求r和r112()2rxxxxxrr而,ryyrzzyrzrxyzxxyyzzrreeerrrr（2）求()。解：()xxx，()yyy，()zzz()xyzxyzeeeeeexyzxyz§3.高斯定理与矢量场的散度一、矢量场的通量1．矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。2．通量：Ads称为A通过面元ds的通量，记作dAds，记作dAds，有限面积S，通量上SAds，闭合曲面S，通量上SAds，ds方向，由面内指向面外。0，场线进入的少，穿出得多，称S面内有源。=0，场线进入的与穿出得同样多，称S面内无源。0，场线进入的少，穿出得少，称S面内有负源。意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不能反映空间一点的情况。二、高斯定理yxzSVVAAAAdsAdVdxdydzxyz一种面积分与体积分的变换关系，有时称为高斯公式（证明略）三、矢量场的散度为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将S面缩小到体元V，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为SAdsAV，我们用单位体积的通量来描述，则有SAdsAV，取极限0limSVAdsAV称为矢量A的散度。（0,有源；=0,无源，0,负源）。有时表示成divA（divergence）。若空间各点处处0A，则称A为无源场。例题：1.求r，其中xyzrxxeyyezze3xrx2.求3rr，12222(0)rxxyyzzr3333rxxyyzzrxryrzr3443330xxyyxxyyrrrrr3.求证：AAA。证：xyzAAAAxyzyxzxyzAAAAAAxyzxyzAA§4斯托克斯公式与矢量场的旋度一、矢量场的环量（环流）矢量A沿任一闭合曲线L的积分LAdl0表明在区域内无涡旋状态，不闭合，0表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域性质。二、斯托克斯公式（定理）LSAdlAdS（证明略）三、矢量场的旋度当L无限缩小，它用的面积化为S时，LnAdlASAS，nAAn，0limLnSAdlASSSn，n为法线上单位矢。定义A为矢量场的旋度，它在S法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点0A，则A称为无旋场。例：1.3rr解：它的x分量为33zzyyyrzr33531yyzzzzzzyryrr33531yyzzyyyyzrzrr30xrr，同理，330yzrrrr2.证明AAA证：zyxAAAyzyzzyAAAAyyzzzyxAAAyzxxAAxyzxxAAeAeAeAeAA§5.常用的运算公式一、复合函数的“三度”运算公式dffuudu，dAAuudu，dAAuudu二、积分变换公式高斯公式：SVVAdsAdVdVA斯托克斯公式：LSSAdlAdSdSA格林公式：第一公式2VSdVdS第二公式22VSdVdS一般规则VSSLdVdSdSdl其他规则TTVSVSVSdVdSdVAdSAdVdSTTVLSLSLdSdSdSAdlAdSdlTTVSdVdSTTSLdSdl一般变换规则证明：1.VSdVAdSA证：任取常矢量C点乘上式两端左VVdVCAdVAC用ABABABSSdSACCdSA用混合积公式2.SLdSAdlA证：左SSCdSAdSACLLACdlCdlA三．算符常用公式1.2.AAA3.AAA4.ABABBA5.ABABAB6.ABBABAABAB7.ABABABBABA8.212AAAAA9.2AAA10.0,0A