用数学思维备战高考

皖西中学数学组——匡大章中国人民大学安徽大学皖西中学数学组——匡大章请同学们爱护教室的公物和卫生!皖西中学数学组——匡大章主讲人：匡大章皖西中学数学组——匡大章解题先解人高考想到出题难考纲如镜法如山几支梅艳三寒苦一道题成百汗干缘遇遭遇各有因殊途同归大局稳解题先解出题人看到题型想题根皖西中学数学组——匡大章与命题人相约（一）考题是在这样制作（三）试卷是按板块划分（二）考纲是在这样修订（四）创新题不与考生为难皖西中学数学组——匡大章（一）考题是在这样制作高考出题,在很多人的心中是件“神秘的事”.由于保密,故有人称高考出题是“暗箱操作”.其实,高考出题是非常透明的“阳光工程”.考什么?怎么考?在《考试大纲》及其”说明”中讲的十分明白.只是我们有时只注意到了要考查的内容细节,而忽略了考查的命题思想和命题过程.更少有人去考虑命题过程中的机遇和遭遇.皖西中学数学组——匡大章2008年全国1卷第10题的设计【考点】直线与圆的位置关系【题序】选择题第3组7——10号位【难度】偏易题难度0.7左右【入口】视角大交汇广选择多入口宽【能力】突出数学思想倡导会想少算【期待】一般生少量演草尖子生一望而答【同根】文理共有题根文理要求有别皖西中学数学组——匡大章第10题根基的审查【代数设计】已知一次方程ax+by=1和二次方程x2+y2=1方程组有解的条件是a2+b2≥1.【代数追根】方程组消y后化归到一元二次方程根基是一元二次方程的判别式。【几何设计】已知一次直线ax+by=1和单位圆x2+y2=1直线与圆有公共点的条件是a2+b2≥1.【几何追根】点和直线的位置关系圆心到直线的距离不大于圆的半径。皖西中学数学组——匡大章第10题的演变【初稿】已知一次直线ax+by=1和单位圆x2+y2=1直线与圆有公共点的条件是a2+b2≥1.【说明】这种演变，是题根从代数模型向几何模型的倾斜：从代数上看，一次方程变复杂了，从几何上看，截距式方程变简单了！【终稿】已知直线和单位圆x2+y2=11byax直线与圆有公共点的条件是.11122ba皖西中学数学组——匡大章2008年全国1卷文科第10题【说明】考点选择：直线与圆的位置关系——有公共点。直线选择了斜截式，圆选择了单位圆。【考题】若直线与圆有公共点，则A．B．C．D．1xyab221ab≤221ab≥22111ab≤22111ab≥221xy问题设计：求参数a，b所满足的条件。皖西中学数学组——匡大章舍直求迂出题人苦心不遇1xyab【考题】若直线与圆有公共点，则A．B．C．D．221ab≤221ab≥22111ab≤22111ab≥221xy2222222211111abdabababab【解一】（解几进入）设圆心到直线0,0bxayababOPd的距离为，那么【点评】数形结合可贵，公式死板太迂．皖西中学数学组——匡大章截迂为直一望而答【考题】若直线与圆x2+y2=1有公共点，则A．B．C．D．1xyab221ab≤221ab≥22111ab≤22111ab≥【点评】特殊一般、部分整体。111111112222babad【解二】设圆心到直线的距离为1xyab截迂为直，一望而答！皖西中学数学组——匡大章2008年全国1卷文科第10题【解三】（代数进入）直线方程与圆方程联立，消y得【考题】若直线与圆有公共点，则A．B．C．D．1xyab221ab≤221ab≥22111ab≤22111ab≥221xy【点评】等价转换可贵，数形结合倒置！（a2+b2）x2–2ab2x+a2b2-a2=0令判别式大于等于0，解得答案D．运算量大——繁！皖西中学数学组——匡大章2008年全国1卷文科第10题【解四】取a=b=1/2,淘汰B和C．【考题】若直线与圆x2+y2=1有公共点，则A．B．C．D．1xyab221ab≤221ab≥22111ab≤22111ab≥【点评】特殊一般、偶然必然。取a=2，b=1/2,淘汰A．答案只能为D.特值淘汰法，一望而答。皖西中学数学组——匡大章2008年全国1卷理科第10题的命制【改理】将圆的方程x2+y2=1参数化：【文题】若直线与圆x2+y2=1有公共点，则A．B．C．D．1xyab221ab≤221ab≥22111ab≤22111ab≥问题改成：直线过点M（cosα，sinα）设x=cosαy=sinα【说明】在文、理姐妹题中，理题比文题多一道“弯”！皖西中学数学组——匡大章2008年全国1卷理科第10题【转文】点M（cosα，sinα）的轨迹是圆x2+y2=1.【理题】若直线过点M（cosα，sinα），则A．B．C．D．1xyab221ab≤221ab≥22111ab≤22111ab≥以下转为文科第10题求解.【点评】命题如制谜，解题如猜谜，制谜时用数学思想转换，猜谜时用数学思想还原！皖西中学数学组——匡大章2008年理科第10题解法【思考】点M（cosα，sinα）的轨迹是圆x2+y2=1.【理题】若直线过点M（cosα，sinα），则A．B．C．D．1xyab221ab≤221ab≥22111ab≤22111ab≥以下可以转为文科第10题求解.但是，如果不转化为文科的单位圆，有直接的解法吗？皖西中学数学组——匡大章2008年理科第10题的直解【直解】点M（cosα，sinα）在直线上，则有【理题】若直线过点M（cosα，sinα），则A．B．C．D．1xyab221ab≤221ab≥22111ab≤22111ab≥【思考】你能由此推出吗？11122ba1sincosba1sin1cos1ba即皖西中学数学组——匡大章会想少算形繁实简【问题】你能由推出吗？11122ba1sin1cos1ba【提示】222222111sin111cos111bababbaa【口答】sin(α+φ)=≤122111ba直解简单，不必转文！皖西中学数学组——匡大章2008年全国1卷第10题妙解【妙解】直线到原点的距离有最大值1，但无最小值。【理题】若直线过点M（cosα，sinα），则A．B．C．D．1xyab221ab≤221ab≥22111ab≤22111ab≥【点评】肯定否定、有限无限。思想激活，一望而答！a，b0，淘汰B和C．a∞，b0，淘汰A．皖西中学数学组——匡大章（1）2010年高考数学大纲是2009年的延续.（二）考纲是在这样修订（2）试题设计的创新程度，要符合中学教学实际与学生实际.（4）三角函数、立体几何两个模块的具体要求降低．（3）易、中、难三种题型设计的比例，容易题和中档题为主体，较难题不超过30%，中档题和容易题不低于70%.（5）多想少算，凸显思维，不在草稿纸上比高矮。皖西中学数学组——匡大章试卷布局，从大题开始：（三）设计试卷按板块划分（2）隐性的两大板块或在大题中交叉，或在小题中填补。（1）六道大题，安排着高中数学的六大显形板块。（3）显性六大板块是：三角、立几、概率、解几、函数、数列。（4）隐性的两大板块是：不等式、向量。（5）还有离散小块；线性规划、排列组合、二项式定理、复数等，它们在大题中作辅助支撑，或在小题中单独出题。皖西中学数学组——匡大章第16题（12分），解三角形（三角函数）.文理一样2009年安徽卷6大板块的分布第18题（12分），(文）解析几何（椭圆与圆）（理）立体几何（解四棱锥）.第17题（12分），概率统计（数学应用题）.文统计茎叶图理离散分布列第20题（12分），(文）立体几何（线面关系）（理）解析几何（椭圆）第19题（12分），（文）数列通项求和（不等式）（理）函数导数（讨论单调性）.第21题（12分），（文）函数导数（讨论单调性）（理）数列（不等式）.【分析】(1)解、证不等式和向量没有单独设大题.(2)数学应用题转到概率统计.(3)函数和函数方程思想渗透到各个板块.皖西中学数学组——匡大章09年安徽卷15道客观题的板块归属第1题，复数代数计算（0）第9题，导数（1）第2题，集合运算（7）第10题，概率（2）第11题，空间坐标（正态分布）（0）第3题，线性规划（解析几何）（0）第4题，充要条件（7、3）第12题，算法框图（参数方程）（0）第5题，数列（6）第13题，几何概率（算法框图）（0）第7题，解析几何（线性规划）（0）第6题，解析几何（函数图像）（0）第8题，函数图像（三角函数）（0）第14题，向量（0）第15题，立体几何（1、5）【说明】显形板块6个：（1）三角函数；（2）立体几何；（3）函数，（4）概率统计；（5）解几；（6）数列.隐形板块1个：(7)不等式.皖西中学数学组——匡大章（四）创新题不与考生为难创新的要求提的很高，新题型也喊得很响。但是它必须服从高考稳定的需要。反复强调：新题型的新立意、新情景、新设问、新解答，新应用等，必须为高中生可以接受。为了新而不难，这几年新课程考区的数学试题，凡有“创新”的题目，的确没有与考生为难！高考稳定就是社会稳定！皖西中学数学组——匡大章(A)x1x2x3(B)x1x3x2(C)x2x3x1(D)x3x2x1【说明】本题基本不涉及高中数学知识.有些初中生也可解出.【例】图右为三岔路口交通环岛的简化模型，某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段,,的机动车辆数（假设：单位时间内，上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则ABBCCA高考试题初中能解皖西中学数学组——匡大章【例】图右为三岔路口交通环岛的简化模型，某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段,,的机动车辆数（假设：单位时间内上述路段中，同一路段ABBCCA(A)x1x2x3(B)x1x3x2(C)x2x3x1(D)x3x2x1上驶入与驶出的车辆数相等），则【初中生的解答】段上的车辆数x1有两部分组成，一是从A口进来的50辆，二是从段上分流过来的x3–55，于是有x1=50+x3-55=x3-5，所以x1x3，同理得x3x2，答案为C.ABCA皖西中学数学组——匡大章【例】图右为三岔路口交通环岛的简化模型，某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段,,的机动车辆数（假设：单位时间内，上述路段中，同一路段ABBCCA(A)x1x2x3(B)x1x3x2(C)x2x3x1(D)x3x2x1【高中生的困惑】有些高中生敏于文字信息，而疏于图形信息.而此题的文字只给了一个数学情境，数据及其关系都在图中.这就是某些高中生交白卷的原因.上驶入与驶出的车辆数相等），则皖西中学数学组——匡大章以上考题连初中生（甚至小学生）都会做，而有高中生解不出，故有人说：高中数学知识学的越多，解新题就越困难.这句话显然是错的，困难的原因不是“难”而是“新”，用死套路去解新题目，自然会失败.不因为“难”只因为“新”x1-x3=50–550得x1x3遗憾的是，有些高中生所学的“比较法”，只能“比较”旧题目.其实，利用高中数学“实数比大小”，比较法可以很快得到：皖西中学数学组——匡大章趣事家长也能解此题有一位家长，不知是不是一位司机，反正，他看到此题，认为非常容易，甚至“不需要数学”，你听他唱：x1、x3比大小看看A口就知晓出的多来进的少所以x1比x3小其实，他的“比大小”就是数学，可能是学究们不明白的“另种数学”.皖西中学数学组——匡大章新考题所留下的印象（1）数学背景不生，数学情景很熟；（3）数学内容不偏，数学沟通很广；（6）数学设问不难，数学入口很宽；（9）数学问题不刁，数学思想很活；（4）数学方法不旧，数学应用很新；（5）数学知识不