如何利用几何教学培养学生的数学能力

如何利用几何教学培养学生的数学能力摘要：中学数学教学的核心是对学生数学能力的培养，我国建国以来制定的中学数学教学大纲大都明确提出了培养学生数学能力的要求，这充分说明了培养能力是中学数学教学的一项重要任务。那么，在素质教育如何利用几何教学培养学生的数学能力呢？这不仅仅是数学教学本身的需要，更是教学工作者要完成的任务。如今，几何教学在数学教学中的作用日益体现出其重要性。本文着重阐述了在数学教学中如何利用几何教学培养学生的数学能力。关键词：数学能力，空间观念，思维能力，创造能力，概括能力，猜想。现代教学理论普遍人为：数学能力是顺利完成数学活动所具备的，而且直接影响其活动效率的一种个性心理特征。它是在中学教学活动中形成和发展起来的，并在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。在中学数学教学中，对学生数学能力的培养是推进素质教育的必然需要。因为只有重视能力的培养，才能使学生从知之不多到知之甚多。将有限的知识化为强大的能力基础，这样才能跟好的适应当今社会的需要。中学数学中的几何部分的知识是数学基础知识之一。因此，教师利用几何教学来培养学生的空间观念，发展学生的思维能力、创造能力有着十分重要的意义。这将直接作用于对学生数学能力的培养。那么，教师如何利用几何教学培养学生数学能力呢？本文将从三大方面进行阐述：一学生空间观念的培养中学数学教学大纲指出：“是学生形成简单的几何题的形状、大小和相互位置关系的表象，培养初步的空间观念”学生在学习几何知识的过程中，重视对物体的原有感知，逐步掌握物体的形状特征、大小和位置关系，并以此为材料进行思维。将图形表象进行加工组合，逐步培养和发展空间观念。以锻炼和发展学生的思维为主线，把观察、操作、训练、整理有机的串联成一个有机的思维体系，从而达到通畅的目的。在此过程中有目的有计划的培养学生空间观念。1全面观察实践证明：学生接触事物、探究事务的本质特征经常从观察开始的。在现实生活中，学生对简单图形已经有了初步的了解：如书的封面是长方形，教室是长方体，粉笔是圆柱体，乒乓球是球体等等。但学生们对此的了解往往是模糊的，表面的，还不能说出它的本质特征，往往是口语言而无声。所以，教学是应因势利导，结合教学内容，充分利用实物模型等教学手段，丰富学生的表象。引导学生用眼看、用手摸，做到上下、左右、前后和正反进行全面、仔细的观察，加强直观教学，加深学生对物体的初步认识。使它们由具体物体的形状在大脑中形成表象，继而上升为概念，初步培养或形成空间观念。如教授“长方体的认识”时，首先利用实物模型让学生拿出身边的长方体物体进行观察，再从学生已有的生活经验处引导学生说出平时所见的这种形状的物体。其次，让学生讨论这些图形有什么共同特征。“几个面，几条棱，几个顶点。”面是什么形状；面面之间有什么关系；棱棱之间有什么关系……这样学生边观察，边思考，边讨论。通过学生相互补充和教师适时的点拨和引导，使学生们不断总结出长方体的特征，形成初步感性认识。接着让学生自己表达出其特征，老师高度概括图形的本质特征。最后让学生在脑中想象图形的形状特征，并独立的画出几何体。这样学生通过实物、模型，不但培养了观察理解能力和初步的空间观念、空间想象力，还学会了全面、仔细的观察事物的方法和能力。3动手操作杨振宁博士说：“中国儿童不如欧美儿童的动手兴趣浓主要是因为没有动手的机会”其实，动手操作是把书本等一些外在只是内化为自己知识的桥梁。由于中学生的抽象思维依赖于动手思维或形象思维展开，因此，动手操作对中学生掌握知识技能，培养动手能力，提高学习兴趣和积极性等都有一定的实践意义。所以教学时，应尽量组织学生动手做出物体模型，学会对图形进行分解、组合等转化方法，同时也更进一步培养学生的空间想象力。如教授“圆柱体的侧面积”时，老师自制一个圆柱体，把侧面展开，学生讨论侧面的形状，分析侧面积同地面元之间的关系。并让学生自己动手制作一个圆柱体，通过大家的操作，学生不但发现展开后形状，丰富了侧面的表象，还通过多种感官协调作用。学生主动直观的掌握圆柱体的侧面积的推导方法和计算方法。同时，潜移默化的教给学生一把开启面积计算方法的金钥匙。这样增强学生的参与意识，激发学习兴趣，活跃课堂气氛，使学生以饱满高涨的热情投入到学习中，取得最佳的学习效果。3巩固训练通过全面地观察和动手操作，学生对几何只是初步理解和掌握。为了把知识转化为技能，形成能力，教师必须精心设计习题进行巩固练习。教学时教师要注意数形紧密联系。逐步做到物体——图形——表象——物体的循环。使学生看到图形、名称就想象出物体形状、特征和计算方法，并能解决一些实际问题，不断开拓思路，增强思维的灵活性，增强空间观念及理解能力。如圆柱体体积习题设计中，首先输出圆柱体，让学生闭眼想象各种形状的异同和计算方法，再根据具体图形说出图形名称和所需数据，然后计算。学生能依据直观图形帮助分析理解，然后过渡到只根据图形名称和数据计算。使学生能再现图形的表象帮助分析理解题目。之后指出是图形名称和数据间的关系，让学生独立解题。最后出示圆柱体或实际生活中的问题，要求学生量出所需数据再计算。这样通过分层练习，逐步培养学生的空间观念及其理解应用能力。4系统梳理实践证明：学生对于散乱、零碎的指示容易以往或发生混淆。因此，在阶段学习之后我们教师要及时对知识进行整理归纳，穿点成线，扩线成面，举一反三，形成网络。并使之植根于学生原有的知识系统中。使学生更进一步理解和掌握几何图形的本质特征和相互之间的联系与区别。更进一步增强空间观念及理解应用能力。我们还要要利用数学中图形的美，培养学生的兴趣，建立学生空间观念。二学生思维能力的培养我国初高中数学教学大纲中明确指出：思维能力主要是指会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括，会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑的准确阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法辨明数学关系，形成良好的思想品质。我认为大纲中对思维能力的这一阐述是准确的、科学的。它反映了心理学对思维能力研究的最新成果，对我国当前的教学就有重要指导意义。1引导学生用逆向思维解决问题在不少几何习题的解决的过程中，都需要将公式变形或将公式法则逆用。二学生往往在解题时缺乏这种自觉性和基本功。因此，在教学中应当注意这方面的训练，以培养学生逆用公式法则的基本功。另外，在研究、解决问题的过程中常引导学生去做与习惯性思维相反的探索。其主要的思维是：顺推不行就逆推；直接解决不行就间接解决；从正面下手解决不行就反面入手；探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性；用一种命题无法解决就考虑用另一种等价的命题……总之，正确而又巧妙地运用逆向思维方式解决数学问题常常能使人茅塞顿开，突破思维定势，使思维进入新的境界。这是逆向思维的主要形式。例1若三角形的两个角平分线相等，那么两角的对边一定相等。已知：在△ABC中BE、CF分别是∠B、∠C的平分线。且BE=CF。求证：AB=AC。证明：如图如果AB≠AC那么有AB＜AC或AB＞AC作平行四边形BEGFAⅰ假定AB＞AC那么有∠ACB＞∠ABC∴∠BCF＞∠CBEG∵BF=GEBF＞CE∴GE＞CE连结CG∴∠ECG＞∠EGC但FC=FG∠EGC＜∠ECG∠FCE＜∠FGE=∠GBE则有∠ACB＜∠ABC（自相矛盾）∴AB＞AC不对FEⅱ仿此证AB＜AC不对综上可证：AB=ACBC当进行间接证明、逆向思维的时候，应向学生指明：要先说明论证的步骤和过程，后逐步去论证。这样学生才能理解每一步的作用。2多猜想，培养学生思维的独特性猜想是进行科学研究的一种广泛采用的思维方法。在数学发展的进程中，数学家们提出各种各样的猜想：如“歌德巴赫猜想”“费尔马猜想”“希尔伯特猜想”“谷角猜想”等等。人们在证明这些猜想的过程中导致一个又一个数学新分支，一种又一种数学新方法。在教学过程中，教师要处处起示范作用，勤于猜想、敢于猜想、善于猜想，有目的地引导学生大胆的对问题提出各种各样的猜想。有些命题的各种条件适当推广后，其结论也可作相应的推广。教师应该从这些变化中引导学生去猜想。例2求证三角形内任一点到各边的距离之和是一个定值。这是一道不难的题目。在证明了这一题目后，教师可引导学生将这一题目向纵向和横向推广。若将“正三角形”改为“正多边形”，可得如下猜想：⑴正多边形内任一点到各边的距离之和是一个定值。若将它再向立体推广，又可得到猜想：⑵正多面体内任一点到各边的距离之和是一个定值。经过证明，这两个推广的猜想也都是正确的。3培养归纳、类比能力，为猜想提供依据由于获得猜想的主要途径是通过归纳和类比，因此，在教学中培养归纳类比能力就显得十分重要。教材的编写十分重视归纳思想方法的介绍。许多结论就是直接由归纳得到的。如“从函数y=3x+2和y=(x+2)／3(x∈R)的图像关于直线y=x对称”的结论。在教学中，要根据教材的教学特点，有意识的启发学生运用归纳的方法想出一般的结论。对于教材中直接采用“已知、求证、证明”的方式机械地传授知识的题目，也应有意识的引导学生运用归纳的方法的出一般的结论，然后再证明。4培养数学概括能力在几何教学中，教师应着重强调数学的“过程”与“结果”的平衡。要让学生经历数学结论的活的过程，而不是只注重数学活动的结果。这里“经历数学结论的活的过程”的含义是什么呢？我们认为：其实只是要让学生有机会通过自己的概括活动去探究和发现数学的规律。数学的概括是一个从具体向抽象，初级向高级发展的过程。概括是有层次的，逐步深入的。几何教学中教师应根据学生思维发展水平和概念的发展过程及时向学生出高一级的概括任务。以逐步发展学生的概括能力。在数学概念、原理的教学中，教师应创设教学情境，为学生提供具有典型性、数量适当的具体材料；并要给学生的概括活动提供适当的平台，做好适当的铺垫。这里，教师铺垫的台阶是否适当，主要看它是否能让学生处于一种“似懂非懂”“似会非会”的状态。猜想实际上是在新旧知识体系相互作用中，学生对新知识尝试的掌握。在概括过程中，要重视训练的作用。通过变化的方式，使学生达到对新知识认识的全面性。还要重视反思系统的作用。通过反思，引导学生回顾整个思维的过程，检查得失，从而加强对数学原理的认识。使新旧知识建立横向联系。并概括出带有普遍性的规律，从而推出同化顺应的深入。因此，教师应引导学生学会形式抽象，培养学生逻辑思维能力。5培养灵活多样的思维方式应教育学生在解题时方向明确，合情思维。根据接替目标，确定接替方向。避免漫无目的的瞎撞乱碰，是思维更具合理性。同时，注意世纪应变，灵活思维。思维的灵活性变现为思维活动多变，不受思维定势的限制，富于联想，能随机应变。一道数学题，因思考的角度不同，可得到各种不同的思路。广阔寻求多种解决，有助于拓宽解题思路，发展思维能力。例3面积为1的△PMN中的tan∠PMN=0.5,tan∠MNP=－2建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过P的椭圆方程。这是1993年全国数学高考题,评分标准中给出了三种解答,各地的杂志又刊登不少巧妙的解答。我们可以适当的引用。一道数学题能有多种变化。深刻思维，从一题多变中深入思考，抓住问题核心，揭示问题根本原因及其结果。掌握问题的发展规律，使数学思维得到训练、发展。数学题浩如烟海，如果单一用一种思维方式去思考，有时将陷入困难地步。我们要善于从不同角度，不同方向来思考问题。教师在指导学生解体时，要告诉他们不要受传统解决问题方法、别人意见结合自己以有方法的局限。敢于联想，借助于想象往往得到更加巧妙的解答。在学习几何问题的过程中，思维活动的开始是十分详细的，经过一定程度的联系后，就逐步表现为缩短的，省略的形式。对每位学生来讲，这一过程的表现是不尽相同的。只要我们不懈努力，注意学生推理的培养，这个过程会缩短，甚至立即缩短推理和运算环节，直接写出解体过程。应告诉学生，思维的过程可以简缩，但决不要得到一种解法后就满足了。应将思维简缩再简缩。能力的培养过程就得到充分体现。在培养学生思维能力的过程中还必须持有疑而不惑、批判的思维。善于思考正反两方面的论据，找出自己和他人的解题错误。寻找更合理、更正确的解答。鼓励学生质疑