#数学实验“线性方程组的J-迭代-GS-迭代-SOR-迭代解法”实验报告(内含matlab程序代码)

西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020107姓名李亚强实验课题线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代方法。实验目的熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代方法。实验要求运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成。实验内容线性方程组的J-迭代；线性方程组的GS-迭代；线性方程组的SOR-迭代。成绩教师-1-实验四实验报告一、实验名称：线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。二、实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线性方程组12123123521064182514xxxxxxxx的根，提高matlab编程能力。三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。四、实验原理：1、雅可比迭代法（J-迭代法）：线性方程组bXA*，可以转变为：迭代公式(0)(1)()k0,1,2,....kkJXXBXf其中bMfULMAMIBJ111),(，称JB为求解bXA*的雅可比迭代法的迭代矩阵。以下给出雅可比迭代的分量计算公式，令),....,()()(2)(1)(knkkkXXXX，由雅可比迭代公式有bXULMXkk)()1()(，既有inijkiijijkiijkiijbXaXaXa1)(11)()1(，于是，解bXA*的雅可比迭代法的计算公式为-2-)(1),....,(111)()()1()0()0(2)0(1)0(ijnijkjijkjijiiikiTnXaXabaXXXXX2、高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法）：GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了迭代公式：)(1),....,(111)1()1()1()0()0(2)0(1)0(ijnijkjijkjijiiikiTnXaXabaXXXXX其余部分和雅克比迭代类似。3、逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法）：选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w，将之作为分裂矩阵M，)(1wLDwM，其中，w0，为可选择的松弛因子，又（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为AwLDwIBs1)(从而得到解bXA*的逐次超松弛迭代法。(0)(1)()k0,1,2,....kksXXBXf其中：bwLDwfwUDwwLDBs11)())1(()(由此，解bXA*的SOR-迭代法的计算公式为)(),....,(111)1()1()()1()0()0(2)0(1)0(ijnijkjijkjijiiikikiTnXaXabawXXXXXX（2）观察（2）式，可得结论：-3-（1）、当w=1时，SOR-迭代法为J-迭代法。（2）、当w1时，称为超松弛迭代法，当w1时，称为低松弛迭代法。五、实验内容：%1.J-迭代functionx1=jacobi(A,b,y);m=input('请输入迭代次数m:');eps=input('请输入精度eps:');D=diag(diag(A));L=triu(A)-A;U=tril(A)-A;M=D\(L+U);g=D\b;a=1;k=0;whileaepsx2=M*x1+g;a=norm(x2-x1,inf);x1=x2;-4-k=k+1;end%输出方程组的近似解、精确值及误差disp('近似解：');disp(x1);x2=x1-y;a=norm(x2,inf);fprintf('误差：%.6f;迭代次数：%d\n',a,k);%2.GS-迭代functionx1=G_S(A,b,y)n=100;m=input('请输入迭代次数m:');eps=input('请输入精度eps:');D=diag(diag(A));L=triu(A)-A;U=tril(A)-A;%生成矩阵M,向量gM=(D-L)\U;g=(D-L)\b;-5-%迭代首项x1=eye(n-1,1);x2=eye(n-1,1);fori=1:n-1x1(i)=1;x2(i)=0;enda=1;k=0;whileaepsx2=M*x1+g;a=norm(x2-x1,inf);x1=x2;k=k+1;end%输出方程组的近似解、精确值及误差disp('近似解：')；x2=x1-y;a=norm(x2,inf);-6-fprintf('误差：%.4f;迭代次数：%d\n',a,k);%3.SOR-迭代functiona=p(A)[n,n]=size(A);x=eig(A);a=0;fori=1:nb=abs(x(i));ifbaa=x(i);endenda=abs(a);functionx1=SOR(A,b,y)%y为精确解%超松弛迭代D=diag(diag(A));L=triu(A)-A;U=tril(A)-A;%求最佳松弛因子w-7-M=D\(L+U);w=p(M);w=2/(1+sqrt(1-w^2));ifw0||w2disp('迭代不收敛');return;end%生成矩阵M,向量gM=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U);g=(D-w*L)\b*w;%进行迭代w=1;k=0;%x1=eye(n,1);whilew1e-6x2=M*x1+g;w=norm(x2-x1,inf);x1=x2;k=k+1;-8-end%输出方程组的近似解、精确值及误差disp('近似解：');disp(x1);x2=x1-y;w=norm(x2,inf);disp('误差:');disp(w);disp('迭代次数：');disp(k);六、实验结果：A=[520;641;125];b=[1018-14]';X1=G_S(A,b,[000]')X1=-0.87507.1874-5.5000