二次方程根的分布情况归纳(完整版)

1二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02cbxax根的分布情况设方程200axbxca的不等两根为12,xx且12xx，相应的二次函数为20fxaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0120,0xx两个正根即两根都大于0120,0xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f综合结论（不讨论a）00200baaf00200baaf00fa2表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaafk020bkaafk0kfakkk3表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）——————0nfmf00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xmxn，（图形分别如下）需满足的条件是4（1）0a时，00fmfn；（2）0a时，00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：1若0fm或0fn，则此时0fmfn不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m得223m即为所求；2方程有且只有一根，且这个根在区间nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260xmxm有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由300ff即141530mm得出15314m；②由0即2164260mm得出1m或32m，当1m时，根23,0x，即1m满足题意；当32m时，根33,0x，故32m不满足题意；综上分析，得出15314m或1m根的分布练习题例1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由2100mf即2110mm，从而得112m即为所求的范围。例2、已知方程2210xmxm有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由50102200mf218010mmmm3223220mmm或0322m或322m即为所求的范围。例3、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解：由210mf即2210mm122m即为所求的范围。例4、已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则010ff4310m13m即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）例1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程2270xaxa的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程227(13)20xaxaa的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；（3）方程022axx的两根都小于0；变题：方程022axx的两根都小于1．（4）方程22(4)2530xaxaa的两根都在区间[1,3]上；（5）方程042axx在区间（1，1）上有且只有一解；例2、已知方程042mxx在区间[1，1]上有解，求实数m的取值范围．例3、已知函数f(x)1)3(2xmmx的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．检测反馈：1．若二次函数2()(1)5fxxax在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f的取值范围是___________．2．若、是关于x的方程06kkx2x2的两个实根,则22)1()1(的最小值为．3．若关于x的方程2(2)210xmxm只有一根在(0,1)内，则m__．4．对于关于x的方程x2+(2m1)x+42m=0求满足下列条件的m的取值范围：（1）有两个负根（2）两个根都小于1（3）一个根大于2，一个根小于2（4）两个根都在（0，2）内（5）一个根在(2，0)内，另一个根在(1，3)内（6）一个根小于2，一个根大于4（7）在（0，2）内有根（8）一个正根，一个负根且正根绝对值较大5．已知函数1)(2xmxxf的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。2、二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值问题探讨设002acbxaxxf，则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况：abnm2nabm2即nmab,2nmab26图象最大、最小值nfxfmfxfminmaxabfxfmfnfxf2,maxminmaxmfxfnfxfminmax对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若nmab,2，则nfabfmfxf,2,maxmax，nfabfmfxf,2,minmin；（2）若nmab,2，则nfmfxf,maxmax，nfmfxf,minmin另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例1、函数2220fxaxaxba在2,3上有最大值5和最小值2，求,ab的值。解：对称轴012,3x，故函数fx在区间2,3上单调。（1）当0a时，函数fx在区间2,3上是增函数，故maxmin32fxffxf32522abb10ab；（2）当0a时，函数fx在区间2,3上是减函数，故maxmin23fxffxf25322bab13ab例2、求函数221,1,3fxxaxx的最小值。解：对称轴0xa（1）当1a时，min122yfa（2）当13a时，2min1yfaa；（3）当3a时，min3106yfa改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当2a时，max3106fxfa；（2）当2a时，max122fxfa。2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？7解：（1）当1a时，max3106fxfa，min122fxfa；（2）当12a时，max3106fxfa，2min1fxfaa；（3）当23a时，max122fxfa，2min1fxfaa；（4）当3a时，max122fxfa，min3106fxfa。例3、求函数243yxx在区间,1tt上的最小值。解：对称轴02x（1）当2t即2t时，2min43yfttt；（2）当21tt即12t时，min21yf；（3）当21t即1t时，2min12yfttt例4、讨论函数21fxxxa的最小值。解：2221,11,xaxxafxxxaxaxxa，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线12x，12x，当12a，1122a，12a时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）因此，（1）当12a时，min1324fxfa；（2）当1122a时，2min1fxfaa；（3）当12a时，min1324fxfa以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！