麦克斯韦速率分布律的一种推导方法

麦克斯韦速率分布律的一种推导方法安海东（天水师范学院，物理与信息科学学院,物理系，甘肃，天水，741000）摘要：运用基本的初等方法推导出了麦克斯韦速率分布律，同时，对分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值积分运算中对积分限可以取分子速率无限大作了定量的解释和说明。关键词：麦克斯韦速率分布律；分布函数；推导方法；分子数比率分类号：O552.3+1OneoftheDerivationMethodsofMaxwellVelocityDistributionLawAnHaidong(Schoolofphysicsandinformationscience，TianshuiNormalUniversity，TianshuiGansu，741000)Abstract:Maxwellvelocitydistributionlawisderivedbythebasicmethods,meanwhile,whymolecularspeedcantaketheinfinitequantityinthenormalizedofdistributionfunctionandtheinfinitesimalcalculusoftheaveragevalueofthemechanicalquantity.Inthisthesis,thereasonableexplanationisputforwardbyquantitativeanalysis.Keywards:Maxwellvelocitydistributionlaw，distributionfunction，derivationmethods，numberratioofmolecule物理与信息科学学院2009届毕业论文11引言麦克斯韦速率分布律是热学中的重要知识点，但大学热学教材没有作详细的推导，而是直接给出了麦克斯韦速率分布律，对在分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值的积分运算中，为什么能对积分限取分子速率为无限大（根据狭义相对论，分子速率不能达到光速，更不能达到无限大）作了定量的分析，并得出结论，这种取法是合理的，可行的。2麦克斯韦速率分布函数的推导设容器内有一定量的气体处于平衡态，气体总分子数为N，以分子速度v在x，y，z三个方向的分量xv，yv，zv为坐标轴建立直角坐标系，如图1所示，处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向同性的，分子速度分量限制在xv～xv+xdv，yv～yv+ydv，zv～zv+zdv内，即它们的速度矢量的端点都在体积元dw=zyxdvdvdv内的分子数dN显然与总分子数N和速度间隔体积元dw成正比，即zyxdvdvdvvNFdN)(2（1）（其中2222zyxvvvv）（1）式中的比例系数为zyxdvdvNdvdNvF)(2（2）（2）式即为速度分布函数。其物理意义是在单位速度间隔dw=zyxdvdvdv内的分子数占总分子数的比率。速度分布函数的自变量取2222zyxvvvv是为了不突出该函数只与速度的大小有关，与速度的方向无关这一特点。由于速度分布各向同性，速度的任一分量的分布与其他分量无关，故可令)()()()(2zyxvfvfvfvF（3）对上式两边同时取对数，得zvyvxvOdwzvyvxv图1物理与信息科学学院2009届毕业论文2)(ln)(ln)(ln)(ln2zyxvfvfvfvF（4）上式分别对xv，yv，zv求偏导，并注意到2222zyxvvvv整理后有：xxxxdvvdfvfvvdvdFvF)()(121)()()(1222(5.1)yyyydvvdfvfvvdvdFvF)()(121)()()(1222(5.2)zzzzdvvdfvfvvdvdFvF)()(121)()()(1222(5.3)上面三个式子左边是完全相同的，因而右边也应该是相等的，但(5.1)式中右边仅与xv有关而与yv，zv无关，但（5.2）式中右边仅与yv有关而与xv，zv无关，但（5.3）式中右边仅与zv有关而与xv，yv无关，要使它们对任意的xv，yv，zv都成立，则必须同时等于一个与xv，yv，zv均无关的系数，即zzzzyyyyxxxxdvvdvfvdvvdfvfvdvvdfvfv)()(121)()(121)()(121（6）对上式积分得21)(xvxeAvf（7.1）22)(yvyeAvf（7.2）23)(zvzeAvf（7.3）（其中1A，2A，3A均为常数）将（7.1），（7.2），（7.3）式代入（3）式得)(2222)(zyxvvvAevF(其中A=1A2A3A)（8）联系实际，考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故应为负值。令2，由归一化条件得1)(2222222zvyvxvzyxdvedvedveAdvdvdvvFzyx（9）物理与信息科学学院2009届毕业论文3将ivdvei22代入上式。可得3A于是)(322222)(zyxvvvevF（10）再利用分子平均动能等于KT23，这一关系：有KTvvvmmvzyx23)(21212222mKTvvvzyx3)(222即mKTdvdvdvvFvvvzyxzyx3)()(2222（11）可以确定KTm2，代入（10）式便得到麦克斯韦速度分函数：)(2232222)2()(zyxvvvKTmzyxeKTmdvdvNdvdNvF（12）或KTmveKTmvF22322)2()(（13）通常所说的速率分布函数)(vf指的是不论速度方向如何，只考虑速度大小的分布，所以在这种情况下，应该在以v，，为坐标轴的球坐标系中表示。分子速度大小限制在v与v+dv之间而分子速度的方向为任意，即它们的速度矢量的端点都落在半径为v，厚度为dv的球壳内，这个球壳的体积等于dvv24，如图2所示。用体积元dvv24代替体积zyxdvdvdv。zyxdvdvdv→dvv24则气体分子速率在v～v+dv区间的分布为dvvvFdvvf224)()(（14）dvvvOxvyvzv图2物理与信息科学学院2009届毕业论文4将麦克斯韦速度分函数（13）式代入上式得dvevKTmdvvfKTmv22232)2(4)(（15）即KTmvevKTmvf222322)2(4)(（16）这就是麦克斯韦速率分函数，即麦克斯韦速率分布律。3为何能取积分限为无限大在讨论平衡态下气体分子的速率分布时，不论在归一化表达式中，还是在求力学量（如；1v2v）的平均值的积分运算中总是取积分上限为无限大。然而，根据狭义相对论，分子速率不能达到光速，更不能达到无限大。那么，为什么可以取积分限为无限大呢！为了解释这一问题，先计算气体分子速率大于某一速率v的分子数比率.以NN表示速率在0～v之间的分子数比率，则（1－NN）表示速率大于v的分子数比率。令vvKTmx21)2(则dvdx其中21)2(KTmpvTmKT221pv即为分子的最可几速率，这样，根据麦克斯韦速率分布律，得2222224)2(400202223xxxxxvKTmvxedxedxexdvevKTmNN（17）其中xxdxe022在概率论和数理论中称为误差函数，用)(xerf表示，即xxdxexerf022)(（18）（其中)(xerf的数值可查误差函数简表：附表一）以空气分子为例，作进一步定量分析，取T=300K，平均摩尔质量131029molkg，可算出最可几速率为pv=1415sm物理与信息科学学院2009届毕业论文5当x=2.8时，11162smxvxvp速率在0～11162sm之间的分子数比率为%8656.998.22)8.2(2)8.2(eerfNN速度大于11162sm的分子数比率约为310由此可见，在计算中把积分限取为无限大与取为11162sm相比较，误差仅是310，这对我们要解决的实际问题，影响甚小，而计算却非常简便。因此，在归一化条件中以及在用速率分布函数计算力学量平均值时，通常把积分限取为无限大是可行的。4结束语综上所述，麦克斯韦速率分布律可以采用一种初等的，基本的方法导出，通过对分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值的积分运算中积分限可取分子速率为无限大作进一步分析，从而得出结论：分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值的积分运算中积分限取分子速率为无限大对我们解决实际问题影响甚小，却能使计算变地简便，因此，这样作是合理的，可行的。参考文献：[1]李椿，章立源，钱尚武.热学[M].北京：高等教育出版社，1979：72～105[3]范中和.大学物理[M].陕西：陕西师范大学出版社，2006：237～241[4]同济大学应用数学系主编.高等数学[M].第五版.北京：高等教育出版社，2001[5]张国文.麦克斯韦速率分布函数的教学.晋东南师范专科学校学报[J].2004.第21卷.第2期[6]李汝烯.推导麦克斯韦分布律的一种方法.大理师专学报[J].1997.第1期[7]吴敢.麦克斯韦速度分布律几种证明方法的比较.大学物理[J].1989.第12期[8]吴瑞贤.推导麦克斯韦速度分布律、速率分布律的简单方法.大学物理[J].1982.09期[9]言经柳.麦克斯韦速率分布律的推导.南宁师范高等专科学校学报[J].1999.第2期附表一：xxdxexerf022)(误差函数简表X)(xerfx)(xerf0.20.22271.60.97630.40.42841.80.98910.60.60392.00.99530.80.74212.20.99811.00.84272.40.99931.20.91032.60.99981.40.95232.80.9999物理与信息科学学院2009届毕业论文1