抛物线复习题

抛物线1.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4[答案]D[解析]椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝a2－b2＝2，∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p＝4.抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1B.3C.33D.36[答案]A[解析]抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)到双曲线x212－y24＝1的渐近线y＝±33x的距离d＝1.2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x[答案]C[解析]由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y2＝8x.故选C.过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为()A．y2＝－2xB．y2＝－32xC．y2＝4xD．y2＝－4x[答案]D[解析]设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5)的直线上任一点Q(x，y)，则PQ→∥a，∴x＋32＝y－1－5，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点Fm4，0，∴m＝－4，故选D.3．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A．48B．56C．64D．72[答案]A[解析]由题意不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S梯形APQB＝12(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.4.直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则|AB||CD|的值为()A．16B.116C．4D.14[答案]B[解析]由3x－4y＋4＝0，x2＝4y得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，xD＝4，yA＝14，yD＝4，∵直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．∴|AF|＝yA＋1＝54，|DF|＝yD＋1＝5，∴|AB||CD|＝|AF|－1|DF|－1＝116.故选B.5．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．5B．8C.17－1D.5＋2[答案]C[解析]抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.6．若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|＝|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y2＝4x上．故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆．7．抛物线的焦点为椭圆x29＋y24＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为______．[答案]y2＝－45x[解析]由c2＝9－4＝5得F(－5，0)，∴抛物线方程为y2＝－45x.8．若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.[答案]2[解析]设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则y21＝2px1y22＝2px2，两式相减得，y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝2，∵y1＋y2＝2，∴p＝2.已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则AP→·BP→取得最小值时的点P的坐标是______．[答案](0,0)[解析]设P－y24，y，则AP→＝－y24－2，y，BP→＝－y24－4，y，AP→·BP→＝－y24－2－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．9．AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点到直线x＋12＝0的距离为________．[答案]94[解析]由题可知|AB|＝4，所以A、B两点分别到准线x＝－14的距离之和为4，所以AB的中点到准线x＝－14的距离为2，所以AB的中点到直线x＝－12的距离为2＋14＝94.设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则AB的长为________．[答案]10[解析]2p＝8，∴p2＝2，∴E到抛物线准线的距离为5，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×5＝10.10．如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．[解析](1)由y＝x＋bx2＝4y得x2－4x－4b＝0(*)∵直线l与抛物线相切∴△＝(－4)2－4×(－4b)＝0(*)∴b＝－1(2)由(1)知b＝－1，方程(*)为x2－4x＋4＝0解得x＝2，代入x2＝4y中得，y＝1，∴A(2,1)∵圆A与抛物线准线y＝－1相切∴r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.11.已知d为抛物线y＝2px2(p0)的焦点到准线的距离，则pd等于()A.12p2B．p2C.12D.14[答案]D[解析]抛物线方程可化为x2＝12py，∴d＝14p，则pd＝14，故选D.设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)[答案]C[解析]设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程y＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r4.又因为点M(x0，y0)为抛物线x2＝8y上一点，所以有x20＝8y0.又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上．所以x20＋(y0－2)2＝r216，所以8y0＋(y0－2)216，即有y20＋4y0－120，解得y02或y0－6(舍)，∴y02.故选C.12．已知抛物线y2＝2px(p0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)，∴y1＋y22＝2，y21＝2px1①y22＝2px2②①－②得y21－y22＝2p(x1－x2)，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝p2，∵kAB＝1，∴p＝2，∴y2＝4x，∴准线方程为：x＝－1，故选B.已知抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A.125B.19C.15D.13[答案]B[解析]根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y2＝16x.把M(1，m)代入y2＝16x得m＝4，即M(1,4)．在双曲线x2a－y2＝1中，A(－a，0)，则kAM＝41＋a＝1a.解得a＝19.13．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④[答案]A[解析]因为|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋p2，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．14．(2011·烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．[答案]43[解析]建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y＝－18x2，设水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为－32，代入抛物线方程y＝－18x2可求出B点的横坐标为23，所以水面宽为43米．