数值分析思考题7

数值分析思考题71、简述共轭梯度法求解方程组的类型、原理和收敛特性。答：方程组类型:用共轭梯度法求解线性方程组Axb，要求系数矩阵A必须对称正定。利用一维极小搜索方法确定一组A-共轭方向代替最速下降法中的正交方向进行迭代。选取初始向量：(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(1)(1)0(,),,(,),rrxprApApxxprbAx在过点(1)x的由向量(1)r和(0)p所张成的二维平面内找出函数值下降最快的方向作为搜索方向(1)p，沿该方向进行以为搜索得到步长：(1)(1)(1)(0)010(1)(1)000(,)(,),(,)(,)rpArpAppApp记重复上述过程。2、简述最优化方法中线性搜索的特点以及最优化问题的类型。答：特点：选取初始向量(0)x，沿某一方向(0)p寻找最小点(1)x，即求：(0)(0)0argmin()Rfxp,得到(1)(0)(0)0xxp，重复过程。最优化问题的类型：目标函数和约束函数均为线性函数，用于求解：*argmin()nxRxfx3、用共轭梯度法求解如下方程组的解：（1）取(0)(0,0)Tx，1212630321xxxx；运行结果：K=2,X=-1,2（2）取(0)(0,0,0)Tx，123412615352369xxx运行结果：K=3X=1.5,1,0.5