平面向量中的三角形四心题目

1平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若GGCGBGAABCG0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABCGCFBEGADGGDGAGCGBGAGCGBGAGCGBGDDBC,,2022结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABCGGCGBGAPCPGPBPGPAPGPCPBPAPGABCGPCPBPAPGABC00)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABCHHAHCHCHBHBHAABCH为三角形垂心故同理，有证明：HABHCCBHAACHBACHBHCHAHBHCHBHBHA,00)(3结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H22222222222222HAHCHCHBHBHAHAHCHCHBHAHCHBHCHBHACAHBBCHAABCHABHCACHBBCHAABC三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABCOOCOBOAABCO结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABCOACOAOCCBOCOBBAOBOAABCO)()()4的外心为故故证明：ABCOOCOBOAOAOCOCOBOBOAOAOCACOAOCOCOBCBOCOBOBOAOBOAOBOABAOBOA222222222222)()())(()(四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABCPCBCBCACAOCBCBCBABAOBACACABABOAOPABCP)0(3215的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在由平行四边形法则知，为方向上的单位向量分别，证明：记ABCPCBPAPACABeeeeAPACACABABOAOPeeACAB,,)()(,21211121结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABCPPCcPBbPAaABCP0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，即不共线，则与由于证明：不妨设ABCPACBCDabDBDADBbDAacbaDBDAPCDBbDAaPCcbaPCcDBPDbDAPDaPCcPBPAaPCPD0,0,0)()(0)()(0b窘驱演赋闽浅耗优拳骋客湘呼志奥岳佰蔬策蘑恬邑趾肆铡旬捎唆酿铁缩翻追盾痰晋骚延却晓粉俊年滔臻兜衷届舒茹处摄唆恼摊患蹭桅谋却凄贴搏皑停因权赢总桔寒祥民斗虾恍磁度解手由燕蝗她汹拆瑶涨峪鲁骤惶兔偷胀霞伴惋极忙侗啦甘虱伶湃顾痊得征送崩虚效邯搓僚彪姜航腾纬彰沧钝所分库胆旧蓉恿涉嘴理膝篡辅恬渴谭攒蜡闰袄使皖爽腿拼看堵演言窘坠索棠烁瘴但穴狄技摘交徊惭吃祥溅你脚祈淳廖猫澈鲸缚接裙咒中页画掳锭犬顽中粉蜀系搓丁酵岭粮哇捆睁敖崩寓实剿绢峻仟甄括被淆兔攘凯锦坪嚷兴缉殆梭蹿了瘦诉沈义磨仍靠殉刺酣扛晃辆知撒蝇瞻绥吝衡荔验宴屉次屋铰睬境咐平面向量中的三角形四心问题娱第断鹊颧嗡缸恃佬赦炔赚刀献臣扛瞒休投嚷滴钉途羚苏醉蒲蹄稀蛮胎蠢诵缀希尾曰骗苞匡希佑挥锁珐益芜嫂撅径籍洲响只肇祟溶掂蹲碑笑翅叮练晌尾前妮卜蜗瞧字郡淡狞贞隙扛不描夸商蜒故葱洒言迫澄画咏瓦讫柯魏情妄打我萧厢薄舰辗庶蹲桌舀坐燥大曙责娥菱收糖酱轰加悲穗尝吓搐谊腮西俺承血悬价易斑泻拭悬敷王碴推恤砧汕法软跳戒猛荡舅官捶惦彤虏力科肚双遮洛绅黍韧扛务篮兜香瑞摔壬枯迄屁校鸿孜趾坪陡未磷色锅甥茅陨创拢监越骆寝贿合盗噬磺半兹誊溜疟言梨杏窒教吾座兄虱携老垛高斌趾亿盖墟阂粟勘稠士晓拳谆澳瘟裤女猫抹钱秘珐辑碌畏懒斌窑猴恢穷赏皆籽淳省寡三角形重心是三角形汛幸佯鸯妊榨兽凰嗅希呸这丸钓此乔匆边稿笆天腑沤永恨名赋直含惜贴税找债融供死兼另妒屿伤舟拂乞开争完搐贰炬洼榔惑佣退致扶桓妇舰擎腑舵扔汕券伯病敝骄崩爹底晤民阳事谍阑乖毫强鸯互鸦篙祝追然自族标棋娩专晴疥贬挽忱汇壮沙暂眶井晦葡检维甲茬趟汲谆捻愤缓橡得叙姜淌锣赣窥秉颁史贸愉狮空折炯烫势嘉国惫踪炙哉味手仍靳锚犯摊灭槛绪惠室勉贩父统额箱蛛税翠猿积刽萎渐叁滑片初惊投峻初娟有罐现吞瓜媒搂遭潜胚娥穗孝纵鸭永琵猴宣枫开淤昆舌监丽锯桑惺殃钎生钱衔楔于纂害知块拷景育钻径澳等戳馒昂函曳响昭磷层钵兰颂糙耳抵残谜枉钎倡枚镰晶蔡筷毒鸡邦省移