泊松过程及例子1

第三章泊松过程(Poissonprocess)第一节泊松过程的定义和例子第二节泊松过程的基本性质第三节非齐次泊松过程第四节复合泊松过程1．计数过程则如果用)(tN表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，若)(tN满足下列条件：随机过程{)(tN，0t}称为一个计数过程。（1）0)(tN（2）)(tN取正整数值（3）对任意两个时刻21tt，有12()()NtNt（4）对任意两个时刻21tt，)()(12tNtN等于在区间],(21tt中发生的“事件A”的次数第一节泊松过程的定义和例子注如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。首页2．泊松过程满足设随机过程{)(tX，0t}是一个计数过程，（1）0)0(X（2）)(tX是独立增量过程首页则称（3）对任一长度为t的区间中事件的个数服从参数为t（0）的泊松分布，即对一切0,ts，有})()({ksXstXPtkekt!)(,2,1,0k)(tX为具有参数的泊松过程。注意从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且ttXE)]([并称为此过程的生起率或强度（单位时间内发生的事件的平均个数）。首页说明要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满足三个条件：为此给出一个与泊松过程等价的定义条件（1）只是说明事件的计数是从时刻0t开始条件（2）通常可从对过程的了解的情况去直接验证然而全然不清楚如何去确定条件（3）是否满足则称)(tX为具有参数的泊松过程。（3）()Xt满足下列两式：)(}1)()({hhtXhtXP)(}2)()({htXhtXP其中)(h表示当0h时对h的高阶无穷小，（1）0)0(X（2）()Xt是独立平稳增量过程首页设随机过程{)(tX，0t}是一个计数过程，参数为（0），满足定义3.3例3.1考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫.令X(t)表示电话交换台在(0,t]时间段内收到的呼叫次数,则{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故{X(t),t≥0}是一个泊松过程.其实对于任意的0≤t1＜t2＜…＜tn,随机变量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间段(t1,t2],(t2,t3],…,(tn-1,tn]内,电话交换台接到的呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过程{X(t),t≥0}是一个独立增量过程.而且对于任意的s＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布可以认为仅与t-s有关,故{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程.例3.2考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数,则计数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一个泊松过程.例3.3考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件.若机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机点过程,该过程可以用泊松过程进行描述.补例顾客到达某商店服从参数4人/小时的泊松过程，已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。解)5)5.2(,1)5.0((XXP)4)5.0()5.2(,1)5.0((XXXP)4)2(()1)5.0((XPXP5.041!1)5.04(e244!4)24(e0155.0设表示在时间t时到达的顾客数)(tX首页定理3.1泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等价的.证明:首先证明定义3.2蕴涵定义3.3.比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推出定义3.3的条件(3).由式P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt,n=0,1,2,….对充分小的h,有P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)-X(0)=1}=e-λh=λh=λh[1-λh+o(h)]=λh+o(h);P{X(t+h)-X(t)≥2}=P{X(h)-X(0)≥2}==o(h).!)(ntn!1)(1h0!)(nnnh2()!nhnhen以下证明定义3.3蕴涵定义3.2.经比较,只需证明由定义3.3中后两式可以推出定义3.2的(3)式.为此令Pn(t)=P{X(t)=n}=P{X(t)-X(0)=n}.根据定义3.3的(2)与(3),有P0(t+h)=P{X(t+h)=0}=P{X(t+h)-X(0)=0}=P{X(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0}=P{X(t)-X(0)=0}P{X(t+h)-X(t)=0}=P0(t)[1-λh+o(h)],所以=-λP0(t)+.令h→0取极限得P’0(t)=-λP0(t)或=-λ.htPhtP)()(00hho)()()(00tPtP积分得lnP0(t)=-λt+C即P0(t)=ke-λt.由于P0(0)=P{X(0)}=1,代入前式得P0(t)=e-λt.类似地,对于n≥1,有Pn(t+h)=P{X(t+h)=n}=P{X(t+h)-X(0)=n}=P{X(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0}+P{X(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1}+P{X(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j}.根据定义3.3的(2)与(3),得Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1(t)P1(h)+o(h)=(1-λh)Pn(t)+λhPn-1(t)+o(h)于是,有nj2=-λPn(t)+λPn-1(t)+.令h→0取极限得P’n(t)=-λPn(t)+λPn-1(t),所以eλt[P’n(t)+λPn(t)]=λeλtPn-1(t),因此[eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t).当n=1时,得[eλtP1(t)]=λeλtP0(t)=λeλte-λt=λ,P1(t)=(λt+c)e-λt.htPhtPnn)()(hho)(dtddtd由于P1(0)=0,代入上式得c=0,P1(t)=λte-λt.以下用数学归纳法证明:Pn(t)=e-λt成立.假设n-1时有结论,证对n有:P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt,n=0,1,2,….根据[eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t)式,有[eλtPn(t)]=λeλte-λt=,积分得eλtPn(t)=+c.!)(ntn!)(ntn!)(ntn)!1()(1ntn)!1()(1ntndtddtd!)(ntn!)(ntn由于Pn(0)=P{X(0)=n}=0,因而c=0,所以Pn(t)=e-λt.由条件(2)X(t)是独立、平稳增量过程,故有P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt,n=0,1,2,…故定义3.3蕴涵定义3.2.第二节泊松过程的基本性质一．数字特征设{)(tX，0t}为泊松过程，对任意的,[0,),ts,st且有[()()][()()]()EXtXsDXtXsts2(0)0,()[()][()(0)]()[()][()(0)]XXXmtEXtEXtXttDXtDXtXt由于故22(,)[()()]{()[()()()]}[()(0)][()()][()]()()(1)XRstEXsXtEXsXtXsXsEXsXXtXsEXsstsssst(,)min(,)XBstst()()[]exp{(1)}iuXtiuXguEete特征函数为2．到达时间间隔和等待时间的分布定义则称设{)(tX，0t}为泊松过程，)(tX表示到时刻t为止已发生的事件的总数，iW（,2,1i）表示事件第i次发生的等待时间{nW，1n}为等待时间序列以nT（1n）表示第1n次发生到第n次发生之间的时间间隔则称{nT，1n}为到达时间间隔序列首页定理3.2证或则到达时间间隔序列，，21TT是相互独立的随机变量序列，且都有相同的均值为/1的指数分布。事件{tT1}的发生当且仅当没有泊松事件在]0[t，内发生故当0t时，有}0)({}{1tXPtTPtteet!0)(0}{1tTPte1故1T的分布函数为首页设{)(tX，0t}是参数为（0）的泊松过程，那么类似地有0,00,1)(1ttetFtT即1T是服从均值为/1的指数分布。又因2T为事件第一次发生到第二次发生之间的时间间隔，}|{112sTtTP}|],({1111sTtssP内没有事件发生在}],({11内没有事件发生在tssP（增量的独立性）}0)()({11sXtsXP}0)0()({XtXP（平稳独立增量过程）tetXP}0)({首页可见一般地2T也服从均值为/1的指数分布且2T与1T独立同分布。对1n和0121nssst，，，，},,,|{112211nnnsTsTsTtTP内没有事件发生在],({1111tssssPnn},,,|112211nnsTsTsT内没有事件发生在],({1111tssssPnn}0)()({1111nnsstssXPX}0)0()({XtXPtetXP}0)({首页这就证明了到达时间间隔序列是相互独立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为的指数分布。nT（1n）/1首页定理3.3其概率密度为设{)(tX，0t}为泊松过程，证则等待时间nW（1n）服从),(n分布，)(tf)!1()(1ntent，0t因为事件}{tWn等价于事件{ntX)(}所以nW的分布函数为}{)(tWPtFn})({ntXPtnkkekt!)(0t首页于是nW的概率密度为)()(tFtftnkkekt)!1()(1tnkkekt)!()(tnent)!1()(1tnkkekt11)!1()(tnkkekt)!()()!1()(1ntent首页又称为爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。“电话呼叫”是一个泊松过程.相继出现的第i-1次和第i次电话呼叫的间距距离Ti=Wi-Wi-1(i=1,2,…)是一个连续型随机变量,它们都服从参数为λ的指数分布,其概率密度为其等待时间Wn也都是连续型随机变量,服从Γ分布,其密度函数称爱尔兰分布:0,00,)()(1ttenttftnnWn0,00,)(ttetftTi