现代控制理论-稳定性的判定

电气工程学院Section5李雅普诺夫稳定性定义→李亚普诺夫直接法在线性系统中的应用→李雅普诺夫第一方法（间接法）→P.5139-4系统的有界输入输出(BIBO)稳定→李亚普诺夫第二法（直接法）→电气工程学院李雅普诺夫稳定性定义一、系统状态的运动及平衡状态1受到扰动后系统系统处于平衡状态下，、研究系统的稳定性指稳定性的定义有很多，自由运动的性质。系统经典定义。学者李雅普诺夫提出的最重要的是由俄国2、所谓自由运动，是指不考虑外加激励，已知系统的数学模型，研究系统的自由运动。方程；设系统的齐次状态),(tXfX其解为);;(00tXtX、平衡状态3eX态矢量若状态方程的解存在状eX，都有，使得对所有的tetXfX),(0成立，则称eX为系统的平衡状态。电气工程学院个平衡状态需要说明的是，任意一eX，都可以通过坐标变换将其变换到坐标原点0eX的讨论以下对系统稳定性点处。都在系统的状态空间原电气工程学院二、稳定性的定义、稳定1已知系统在自由运动时式为齐次状态方程的一般形),(tXfX系统平衡状态Xe00Xe，在状态空间的原点。衡状态遭到破坏。在若由于扰动使系统的平)1(0tt时刻产生初始状态)(0tX0X。在0tt后，系统的运动状态)(tX化。将随时间变小的如果，对应于无论多么0的园域或球域),(S总存在一个0的园域或球域)(S不超过，在初始状态)(0SX的条件下后，当0tt的运动轨迹始终在)()(StX稳定系统。为的范围内，称这种系统电气工程学院、)2(即XXe0t),(0或S如果存在)(eXtX或)(S结论：系统是稳定的。式中；)(eXtX211)(exx222)(exx2)(nenxx21欧几里德范数欧几里德范数ex稳定的平衡状态及其状态轨线1x2x)(S)(S0x电气工程学院、一致稳定2有关，也和和实数t0与有关。若t0无关，称平衡状态eX一致稳定电气工程学院、渐进稳定3无限增长，若存在当tetXtX)(lim0状态即系统回到原来的平衡eX则称系统是渐进稳定ex1x2x)(S)(S0x渐进稳定的平衡状态及其状态轨线电气工程学院、大范围渐进稳定4都具有由这些状态出发的轨迹若对状态空间所有点，渐进稳定性，称系统大范围渐进稳定。讨论：按照李亚普诺夫稳定性定义线性系统稳定，一定是大范围渐进稳定的。非线性系统，若平衡点的不唯一，不可能存在大范围稳定，若稳定，也只能是小范围渐进稳定。电气工程学院、不稳定5实数对于一个无论多么小的0，存在一个0，由)(S轨线超越出发的状态轨迹有一个)(S，则称这种系统不稳定不稳定的平衡状态及其状态轨线1x2xex)(S)(S0x电气工程学院）准则性和塞尔维斯特（三、二次型函数的定号sylvester参见自动控制原理下吴麒P.242现代控制理论刘豹P.147教材p.50531322123222122113)(xxxxxxxxxxV符号性质判断下面二次型函数的作业：附录1；5.二次型和向量范数电气工程学院李雅普诺夫第一方法（间接法）、适用对象1的线性化。可以严重的系统，将其适当线性系统、非线性不很去分析其稳定性。按线性系统的稳定条件内容、第一方法（间接法）2）、对于线性系统；（1已知,AXX非奇异，则A0eX为其平衡点。、内容)2(的特征根全部具有负的、]1[A的。实部，系统是渐进稳定中有一个实部为正的特、]2[A征根，实际系统不稳定、线性系统渐进稳定，]3[定的。则一定是大范围渐进稳电气工程学院达式为例：系统的状态空间表XyuxX01,111001性。试分析系统的状态稳定解：阵的特征方程由AdetAI0)1)(1(可得特征根，11。12不稳定电气工程学院、非线性系统的稳定性3、系统的状态方程)1(tXfX),(为其平衡状态，eX的同维矢量函数，对为和XtXf),(具有连X续的一阶偏导数。性系统线性化。将非处的稳定性，要将非线要讨论系统在eX。的邻域内泰勒级数展开线性函数在eX可得）（XXXXfXeT)(而XfTnnxf11xf21xfn1xf12xf22xfn2xfn1xfn2xfnn雅克比Jacobian矩阵雅克比Jacobian矩阵令eXXX,0eX0eX可得线性化的方程XAXeXXTXfAeXXTXfA电气工程学院内容、第一法（间接法）的)2(在平实部，则原非线性系统的所有特征根都具有负、若A]1[衡状态Xe是渐进稳定的。且系统的稳定性和）无关。（X的特征值，至少有一个、若A]2[具有正实部，则原系统的平是不稳定的。衡状态Xe统的部为零，则原非线性系的特征根至少有一个实、若A]3[），而不能用（数项的稳定性取决于高阶导平衡状态XXe的特征值符号确定。A例：系统状态方程为21222111xxxxxxxx的稳定性。试分析系统在平衡状态解：、找出系统的平衡状态]1[001eX112eX方程线性化处进行讨论，将非线性、在]2[1eX电气工程学院1001A001eX其特征值为，11。12结论：系统在001eX处是不稳定的。处线性化得、在Xe2]3[112eXA0110特征值为，j21结论。得不出系统稳定否的法（直接法）进行讨论要应用李雅普诺夫第二电气工程学院系统的有界输入输出(BIBO)稳定)S(G)s(R)s(C定性，系统有输入系统不光研究状态的稳）、不可避免的，一个（1的输入输出稳定性。输出，同时要研究系统的极点都具有负的实部道，当系统的）、以前的分析可以知（sG)(2有界的输入，种稳定的系统对于一个时，定义系统稳定。这ktr;)(1出，必然产生一个有界的输。ktc)(2稳定。输出稳定或称定义为系统的有界输入BIBO稳定的充要条件是BIBO面。平面的左半平的所有极点都在ssG)(稳定和渐进稳定的关系、BIBO)3(由于sDsNsG)()()(BAsIC)(1AsIBAsICadj)det()(AsIAsI)det(AsIAsI)det(为不可约的，即、sG)(]1[无公因子和sDsN)()(电气工程学院和、若BAsICadjAsI)(]2[无公因子，有。AsIsD)(结论：若特征值完全相同。系统的极点和系统的AsG)(BIBO的。稳定，它也是渐进稳定有公因子，此时，和反之，若BAsICadjAsI)(。AsIsD)(结论：稳定部分，即使是的极点只是特征值的一BIBOsG)(定的。的，它不见的是渐进稳稳定不包含渐进稳定，可见，BIBO稳定。而渐进稳定包含BIBO说渐进稳定的系统，才能稳定定义要严格，只有渐进稳定比BIBO个系统是真正稳定的。一常工作，因稳定的系统可能不能正BIBO定。为其内部状态可能不稳电气工程学院XyuXXBIBO12,012011稳定性。性和达式为，判断渐进稳定例：系统的状态空间表解：]1[、系统是渐进稳定的。]2[稳定的。、系统是BIBO电气工程学院稳定性。，判断系统的渐进稳定性达式为已知系统的状态空间表、作业：12,0100111BIBOXyuXX定性。断，系统在平衡点的稳用李雅普诺夫第一法判非线性系统、2222111222xxxxxx电气工程学院李亚普诺夫第二法（直接法）.1概述:]1[思路能量观点能量函数电容中储能221Cu电感中储能221Li的能量，使得一个具体的系统系统的复杂性和多样性]2[函数不好直观的找出。正定的标量函数李雅普诺夫定义了一个)(XV构的广义能量函数。，作为虚然后，根据)(XV的符号特征来判断系统的稳定性。)(XV)(XV)(]3[XV称李雅普诺夫函数已知系统)(XfX若能找到一个正定的)(XV而)(XV进稳定的。是负定的，则系统是渐电气工程学院应用李雅普诺夫第二法需注意问题]4[的寻找。的关键问题是)(XV数。均可作为李雅普诺夫函的假设李雅普诺夫稳定性判断任何标量函数只要满足,@主要靠试探。李雅普诺夫函数的寻找@数。帮助寻找李雅普诺夫函也有一些定理,@电气工程学院李雅普诺夫稳定判据2系统的状态方程为已知)(XfX平衡状态0Xe有0)(Xfe如果存在一个标量函数)(XV满足对所有）、（XV)(1X数。都具有连续的一阶偏导是正定的，）、（XV)(2，，XVX0)(0，XVX0)(0时间导数沿状态轨迹方向计算的）、（XV)(3XV)(dtXdV)(分别满足下列条件半负定，则平衡状态若XV)(]1[eX为李雅普诺夫意义下的稳定。若XV)(]2[负定，此时是渐进稳定的。eX状半负定，但对任意初始或虽然XV)(态tX0)(0来说，除去外，对eXX0，X0。不恒为XV0)(时，若当XVX)(稳定的。，则系统为大范围渐进此时是渐进稳定的。eX→电气工程学院为正定，则平衡状态若XV)(]3[李雅普诺夫稳定判据2系统的状态方程为已知)(XfX平衡状态0Xe有0)(Xfe如果存在一个标量函数)(XV满足对所有）、（XV)(1X数。都具有连续的一阶偏导是正定的，）、（XV)(2，，XVX0)(0，XVX0)(0时间导数沿状态轨迹方向计算的）、（XV)(3XV)(dtXdV)(分别满足下列条件eX是不稳定的。电气工程学院释为半负定附加条件的解关于)(]1[XV2x2x1x2xex0x1x2x1x2x1x2xex0x件判据给出的只是充分条]2[→的结论。系统的稳定性做出肯定，便能对李雅普诺夫函数如果找到了满足条件的)(XV做出任何结论。定性为借口，来对系统的稳不能以找不到合适的)(XV电气工程学院方程已知非线性系统的运动例；xxxxx)(2221121xxxxx)(2221212的稳定性分析平衡状态eX解)1(Xe求由)(2221121xxxxx)(2221212xxxxx00可得00e2e1xx找李雅普诺夫函数)()2(XV设正定的)(XV2221xx找)()3(XV1xV1dtdx2xV2dtdx21x1x22x2x)(222221xx0)()4(XV是负定的普诺夫函数是一个满足条件的李雅因此，所选的)(XV渐进稳定的围渐进稳定大范作业P.5399-32=+=电气工程学院已知系统的运动方程例；XX1110分析平衡状态的稳定性eX解)1(Xe求021xx由0212xxx0021xx可得找李雅普诺夫函数)2()(XV设正定的)(XV2221xx找)()3(XV2211dtdxxVdtdxxV222211xxxx222x0)()4(XV可知，稳定问题是是否渐进稳定。讨论)5(渐进稳定结果是否大范围渐进稳定？结果)6(大范围渐进稳定==电气工程学院已知系统的运动方程例；XX1110分析平衡状态的稳定性eX解)1(Xe求021xx由0212xxx0021xx可得)7(另选]2)[(21)(2221221xxxxXV正定)(XV))((2121xxxx22211xxxx)(2221xx大范围渐进稳定V(x)怎么选的？电气工程学院2s1)s(R)s(Y分析系统的稳定性解)1(求解状态方程表达式100110uXX)2(eX求显然eX00选