第4章-稳定性与李雅普诺夫方法2

1第4章稳定性与李雅普诺夫方法4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.2李雅普诺夫第一法4.3李雅普诺夫第二法4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用24.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.1.1系统状态的运动及平衡状态设系统的齐次状态方程为：(,)xfxt设其在初始条件下，有唯一解那么，此解实际上描述了系统在n维空间中从初始状态出发的一条状态运动的轨迹。称为运动轨迹或状态轨迹。00(,)tx00(;,)xtxt其中，x为n维状态向量，为n维向量函数。如果系统是定常的，则不显含t；如果系统是线性的，则f为Ax()f3平衡状态不一定存在，也不一定唯一。如：其平衡状态有：稳定性是相对于平衡点而言的！1132122xxxxxx123000,,011eeexxx平衡状态：若存在状态向量，对所有t，都有成立，则称为系统的平衡状态。ex(,)0efxtex如果，且A非奇异，则原点是系统唯一的平衡状态。(,)fxtAx4.1.1系统状态的运动及平衡状态44.1.2稳定性的几个定义定义欧氏范数：称为向量的欧氏范数。exxr超球域4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义51.Lyapunov意义下的稳定(,)xfxt系统中，对任意，若存在，使得，当，时，有则称平衡状态为李雅普诺夫意义下稳定的。00(,)0t00e(;,)txtxex若的选取与初始时刻无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。0e0(,)xxt0tt4.1.2稳定性的几个定义62.渐近稳定如果是李雅普诺夫意义稳定的，并且则称是渐近稳定的。00lim(;,)0ettxtx4.1.2稳定性的几个定义7若，则称为大范围(全局)渐近稳定。3.大范围渐近稳定如果平衡状态是渐近稳定的，且渐近稳定的最大范围是整个状态空间，则为大范围渐近稳定的，其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。线性系统：渐近稳定大范围渐近稳定非线性系统：一般小范围渐近稳定exex4.1.2稳定性的几个定义8对于某个实数和任意，在超球域内始终存在状态，使得从该状态开始的运动轨迹要突破超球域。4.不稳定4.1.2稳定性的几个定义9此三个图分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。4.1.2稳定性的几个定义104.2李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法又称间接法。基本思路是通过状态方程的解来判别系统的稳定性。线性定常系统：由特征方程的根来判断稳定性。非线性系统：先线性化，再判别。11线性定常系统，在平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。此为状态稳定性，或称内部稳定性。4.2李雅普诺夫第一法4.2.1线性系统的稳定判据:(,,)Abc0exxAxbuycx如果，则渐近稳定；Re(())0Aex12输出稳定性：如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。BIBO稳定（BoundedInputBoundedOutput）4.2.1线性系统的稳定判据输出稳定性判据：线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数的极点全部位于s平面的左半部。:(,,)Abc1()()WscsIAb13【例4-1】101,10011xxuyx解：（1）由A的特征方程故系统的状态不是渐近稳定的。(1)(1)0IA121,1（2）系统的传递函数：故系统是输出稳定的。1(1)1()()(1)(1)1sWscsIAbsss结论：系统状态稳定系统输出稳定。系统输出稳定，且能控能观系统状态稳定。4.2.1线性系统的稳定判据14设，为平衡点。将在邻域内展成泰勒级数，得其中(,)xfxtex(,)fxt(-()efxxxRxx）1111ennnnffxxfxffxxxx()()Rxox2雅可比矩阵高阶导数项ex近似线性化：令得，其中-exxxxAx=efAxxx4.2.2非线性系统的稳定性154.2.2非线性系统的稳定性结论：如果，则渐近稳定；如果存在，则不稳定；如果，则的稳定性由高阶导数项来决定。Re(())0AexRe(())0ARe(())0A()Rxexex164.2.2非线性系统的稳定性例4-2已知非线性系统试分析系统平衡状态的稳定性。xxxxxxxx11122212=,=TTeexx120011解：系统有两个平衡状态为在处线性化，得ex1A1001特征值为。故，该平衡点不稳定。,1211在处线性化，得ex2A0110特征值为，实部为0。故，该平衡点用此方法无法判定稳定性。j17（3），则称是负定的。4.3李雅普诺夫第二法1.标量函数符号性质设是向量x的标量函数，且在x=0处，恒有对所有在定义域中的任何非零向量x，如果成立：4.3.1预备知识（1），则称是正定的。（2），则称是半正定(非负定)的。（4），则称是半负定(非正定)的。（5），或则称是不定的。18例正定的半正定的负定的半负定的不定的4.3李雅普诺夫第二法19例设半正定的半正定的22122)()Vxxx221231)()()Vxxxx123Txxxx4.3李雅普诺夫第二法202.二次型标量函数二次型标量函数可写为11121121222121()nTnnnnnpppxppxVxxPxxxxppx12221122312323110()2110001xVxxxxxxxxxxx其中，P为实对称矩阵。例如：4.3李雅普诺夫第二法21二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换，使之化为：xTx1221()()00TTTTTTnTiiinVxxPxxTPTxxTPTxxPxxxx此称为二次型函数的标准型，为P的特征值，则正定的充要条件是P的特征值均大于0。ii()Vx4.3李雅普诺夫第二法22矩阵P的符号性质定义如下：设P为n×n实对称阵，为由P决定的二次型函数，则（1）正定，则P正定矩阵，记为P0;（2）负定，则P负定矩阵，记为P0;（3）半正定，则P半正定矩阵，记为P≥0;（4）半负定，则P半负定矩阵，记为P≤0;()TVxxPx()Vx()Vx()Vx()Vx4.3李雅普诺夫第二法233、希尔维斯特判据设实对称阵为其各阶顺序主子式，即矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：1112121221,nijjinnnpppppPppppi111211122122,,,npppPpp4.3李雅普诺夫第二法24(2)若，则P负定；(1)若，则P正定；(3)若，则P半正定；(4)若，则P半负定；0(1,2,,)iin0(0(iii为偶数)为奇数)0(0(iii=1,2,,n-1)=n)0((0(iiii为偶数)0为奇数)=n)4.3李雅普诺夫第二法25解：二次型可以写为,,222123122313()104224Vxxxxxxxxxx例证明如下二次型函数是正定的。可见此二次型函数是正定的，即4.3李雅普诺夫第二法264.3李雅普诺夫第二法274.3.2几个稳定性判据定理设系统的状态方程为如果平衡状态即，如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是半负定的。则平衡状态为在李亚普诺夫意义下的稳定。(),xfx()Vx()Vx0,ex()0efx()Vxex4.3李雅普诺夫第二法284.3.2几个稳定性判据定理设系统的状态方程为如果平衡状态即，如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是负定的；或者为半负定，对任意初始状态，除去x=0外，有不恒为0。则平衡状态是渐近稳定的。进一步当，有，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。(),xfx()Vxx()Vx()Vx0,ex()0efx()Vxex()Vx0()0xt()Vx4.3李雅普诺夫第二法294.3.2几个稳定性判据定理设系统的状态方程为如果平衡状态即，如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是正定的。则平衡状态是不稳定的。(),xfx()Vx()Vx0,ex()0efx()Vxex4.3李雅普诺夫第二法30说明：（1），则此时，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。（2）不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面相交，但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！()0Vx()VxC()Vx()VxC0x0x4.3李雅普诺夫第二法31解:显然，原点是系统平衡点，取，则又因为当时，有，所以系统在原点处是大范围渐近稳定的。e0x2212()0Vxxxx()Vx222211221211221212222222121122121222212()222(())2(())22()22()2()Vxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例4-4已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。22121122221212()()xxxxxxxxxx4.3李雅普诺夫第二法032【例4-5】已知系统的状态方程，试分析平衡状态的稳定性。解：线性系统，故是其唯一平衡点。将矩阵形式的状态方程展开得到：取标量函数(李雅谱诺夫函数)：0111xx0ex12212xxxxx2212()0Vxxx211222()()2220dVxVxxxxxxdt且当时，，x()Vx4.3李雅普诺夫第二法半负定，不恒为0，渐近稳定。所以系统在其原点处大范围渐近稳定。33另选一个李雅普诺夫函数：22212121()[()2]2Vxxxxx221212112212()()()2()Vxxxxxxxxxxx当时，，所以系统在其原点处大范围渐近稳定。x()Vx4.3李雅普诺夫第二法12212xxxxx12212xxxxx34解:系统具有唯一的平衡点。取则于是知系统在原点处不稳定。e0x2212()0Vxxx22112212()222()0Vxxxxxxx例4-8系统的状态方程为试确定系统在其平衡状态的稳定性。112212xxxxxx4.3李雅普诺夫第二法354.3.3对李雅谱诺夫函数的讨论（1）V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数；（2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定或者不稳定；（3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；（4）V(x)最简单的形式是二次型；（5）V(x)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息；（6）构造V(x)需要一定的技巧。()TVxxPx4.3李雅普诺夫第二法364.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.4.1线性定常连续系统渐近稳定判据0)()()(TTTTTTTTTQxxxPAPAxPAxxPxAxxPxPxxxVPxxxVAxx系统矩阵非奇异选择李雅普诺夫函数正定对其求时间导数将状态方程代入令其负定整理记为-Q37设线性定常系统为：则平衡状态为大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程：且就是李雅普诺夫函数。证明：略。xAx0exTAPPAQ()TVxxPx定理4