中考数学二次函数动点问题-由面积产生的函数关系问题

由面积产生的函数关系问题例12013年菏泽市中考第21题如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数334yx的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数218yxbxc的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来．3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．满分解答（1）由334yx，得A(0,3)，C(4,0)．由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．将B(－4,0)、D(8,3)分别代入218yxbxc，得240,883.bcbc解得14b，c＝－3．所以该二次函数的解析式为211384yxx．（2）①设点P、Q运动的时间为t．如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝45．当PQ⊥AC时，45AQAP．所以545tt．解得259APt．图2图3②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．由于S△APQ＝2111333sin(5)2225102APQHAPAQPAQtttt，S△ACD＝11831222ADOA，所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝2233358112()()1021028ttt．所以当AP＝52时，四边形PDCQ的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．这时45APAQ，所以455tt．解得209t（如图4所示）．图4例22012年广东省中考第22题如图1，抛物线213922yxx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．思路点拨1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222yxxxx，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．所以AB＝9，OC＝9．（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．所以2()ADEACBSAESAB．而18122ACBSABOC，AE＝m，所以222811()()922ADEACBAEmsSSmAB．m的取值范围是0＜m＜9．图2图3（3）如图2，因为DE//CB，所以9CDBEmADAEm．因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以9CDEADESCDmSADm．所以22291191981()222228CDEmSmmmmm．当92m时，△CDE的面积最大，最大值为818．此时E是AB的中点，92BE．如图3，作EH⊥CB，垂足为H．在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以3313sin1313B．在Rt△BEH中，93132713sin21326EHBEB．当⊙E与BC相切时，rEH．所以272952Sr．考点伸展在本题中，△CDE与△BEC能否相似？如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．例32012年河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5cos13ABC．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．图3图4答案探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S△ABD＝12mx，S△CBD＝12nx．（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得118422mxnx．所以168mnx．由于AC边上的高565BG，所以x的取值范围是565≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝565或13＜x≤14．发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为565．例42011年淮安市中考第28题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；[来源%:@中国教~#育出^版网]（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．（2）①如图1，当6011t＜≤时，2EFt．所以24St．②如图2，当66115t＜≤时，2EFEHt，2AEt，33(2)44NEAEt．于是31132(2)442NHEHNEttt，211422233NHQSNHQHNHNHNH△22113342t．所以22221132511343422422Stttt．③如图3，当625t＜≤时，4EF，2AEt，2AFt．所以2233388AFMAENSSSAFAEt△△．图2图3图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为110275，此时14625t．图5图6图7[来^~源:中国*教育出版网#%]考点伸展第（2）题中t的临界时刻是这样求的：如图8，当H落在AC上时，2AEt，2EHEFt，由2324tt，得611t．如图9，当G落在AC上时，2AFt，2GFEFt，由2324tt，得65t．图8图9例52011年山西省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．从S随t变化的跟踪轨迹可以看到，整个运动过程中，S随t变化的图象是“N”字型，由四段组成．请打开超级画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．点击按钮“函数表达式”，S随t先增大后减少。当t=2.67时，S=14.22.思路点拨1．用含有t的式子表示线段的长，是解题的关键．2．第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况．3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．满分解答（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为43yx．（2）①当M在OC上，Q在AB上时，502t＜≤．在Rt△OPM中，OP＝t，4tan3OMP，所以43PMt．在Rt△AQE中，AQ＝2t，3cos5QAE，所以65AEt．于是618855PEttt．因此212162153SPEPMtt．②当M在OC上，Q在BC上时，532t＜≤．因为25BQt，所以11(25)163PFttt．因此2132223SPFPMtt．③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和2115tt，解得163t．因此当M、Q都在BC上，相遇前，1633t＜≤，PM＝4，162163MQttt．所以16322SMQPMt．图2图3图4（3）①当502t＜≤时，222162160(20)153153Sttt．因为抛