初三复习二次函数动点问题(含答案)

二次函数的动态问题（动点）1.如图①，正方形ABCD的顶点AB，的坐标分别为01084，，，，顶点CD，在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点40E，出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，PQ，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求正方形ABCD的边长．（2）当点P在AB边上运动时，OPQ△的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求PQ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4）若点PQ，保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使90OPQ∠的点P有个．（抛物线20yaxbxca的顶点坐标是2424bacbaa，．[解]（1）作BFy轴于F．01084AB，，，，86FBFA，．10AB．（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．图①yDACPBOEQx图②O10t2028s又1010101AB，．PQ，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PGy轴于G，则PGBF∥．GAAPFAAB，即610GAt．35GAt．3105OGt．4OQt，113410225SOQOGtt．即231920105Stt．19195323210ba，且190103≤≤，当193t时，S有最大值．此时4763311051555GPtOGt，，点P的坐标为7631155，．（8分）方法二：当5t时，1637922OGOQSOGOQ，，．设所求函数关系式为220Satbt．抛物线过点63102852，，，，1001020286325520.2abab，31019.5ab，231920105Stt．19195323210ba，且190103≤≤，当193t时，S有最大值．此时7631155GPOG，，点P的坐标为7631155，．（4）2．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。．2.如图①，RtABC△中，90B，30CAB．它的顶点A的坐标为(100)，，顶点B的坐标为(553)，，10AB，点P从点A出发，沿ABC的方向匀速运动，同时点Q从点(02)D，出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求BAO的度数．（2）当点P在AB上运动时，OPQ△的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4）如果点PQ，保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使90OPQ的点P有几个？请说明理由．解:（1）60BAO∠．（2）点P的运动速度为2个单位/秒．（3）(103)Ptt，（05t≤≤）1(22)(10)2Stt2912124t．当92t时，S有最大值为1214，此时119322P，．（4）当点P沿这两边运动时，90OPQ∠的点P有2个．①当点P与点A重合时，90OPQ∠，当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，作90OPM∠交y轴于点M，作PHy轴于点H，由OPHOPM△∽△得：20311.53OM，所以OQOM，从而90OPQ∠．所以当点P在AB边上运动时，90OPQ∠的点P有1个．②同理当点P在BC边上运动时，可算得1031217.83OQ．（第29题图①）ACBQDOPxy3010O5tS（第29题图②）第29题图①yQMHDOAxCB()P而构成直角时交y轴于35303，，35320.217.83，所以90OCQ∠，从而90OPQ∠的点P也有1个．所以当点P沿这两边运动时，90OPQ∠的点P有2个．3.（本题满分14分）如图12，直线434xy与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点0,1B.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S.①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设0S是②中函数S的最大值，那么0S=.解：（1）令0x，则4y；令0y则3x．∴30A，．04C，∵二次函数的图象过点04C，，∴可设二次函数的关系式为42bxaxyECAyOBFxMD又∵该函数图象过点30A，．10B，∴093404abab，．解之，得34a，38b．∴所求二次函数的关系式为438342xxy（2）∵438342xxy=3161342x∴顶点M的坐标为1613，过点M作MFx轴于F∴AFMAOCMFOCMSSS△四边形梯形=1013164213161321∴四边形AOCM的面积为10（3）①不存在DE∥OC∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时12t，在RtAOC△中，5AC．设点E的坐标为11xy，∴54431tx，∴512121tx∵DEOC∥，∴tt2351212∴38t∵38t2，不满足12t．∴不存在DEOC∥．②根据题意得D，E两点相遇的时间为1124423543（秒）现分情况讨论如下：ⅰ）当01t≤时，2134322Sttt；ⅱ）当12t≤时，设点E的坐标为22xy，∴544542ty，∴516362tyECAyOBxMD∴ttttS5275125163623212ⅲ）当2t1124时，设点E的坐标为33xy，，类似ⅱ可得516363ty设点D的坐标为44,yx∴532344ty，∴51264ty∴AOEAODSSS△△512632151636321tt=572533t③802430S47.关于x的二次函数22(4)22yxkxk以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作DC垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考资料：抛物线2(0)yaxbxca的顶点坐标是2424bacbaa，，对称轴是直线2bxa．解：（1）据题意得：240k，2k．当2k时，2220k．当2k时，2260k．又抛物线与y轴的交点在x轴上方，2k．抛物线的解析式为：22yx．函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令220x，得2x．不02x时，112ADx，2112ABx，211112()244lABADxx．当2x时，222ADx，2222(2)2ABxx．222222()244lADABxx．l关于x的函数关系是：当02x时，2244lxx；当2x时，2244lxx．（3）解法一：当02x时，令1111ABAD，得2220xx．解得13x（舍），或13x．将13x代入2244lxx，得838l．当2x时，令2222ABAD，得2220xx．解得13x（舍），或13x．将13x代入2244lxx，得838l．综上，矩形ABCD能成为正方形，且当31x时正方形的周长为838；当31x时，正方形的周长为838．解法二：当02x时，同“解法一”可得13x．正方形的周长1148838lADx．当2x时，同“解法一”可得13x．43211234567123412341D1A1B1C2C2B2A2Dxy（第26题）正方形的周长2248838lADx．综上，矩形ABCD能成为正方形，且当31x时正方形的周长为838；当31x时，正方形的周长为838．解法三：点A在y轴右侧的抛物线上，0x，且点A的坐标为2(2)xx，．令ABAD，则222xx．222xx，①或222xx②由①解得13x（舍），或13x；由②解得13x（舍），或13x．又8lx，当13x时838l；当13x时838l．综上，矩形ABCD能成为正方形，且当31x时正方形的周长为838；当31x时，正方形的周长为838．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得0＝36a－6b＋80＝4a＋2b＋8解得a＝－23b＝－83∴所求抛物线的表达式为y＝－23x2－83x＋8（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，第26题图(批卷教师用图)第26题图∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴EFAC＝BEAB即EF10＝8－m8∴EF＝40－5m4过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝45∴FGEF＝45∴FG＝45·40－5m4＝8