分式和分式方程

分式和分式方程1/9分式与分式方程【知识梳理】分式知识点一：分式的定义一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B为分母。知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B）②分式无意义：分母为0（0B）③分式值为0：分子为0且分母不为0（00BA）④分式值为正或大于0：分子分母同号（00BA或00BA）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（00BA或00BA）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：CBCABA，CBCABA，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BBABBAAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。分式和分式方程2/9注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六分式的四则运算与分式的乘方①分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：dbcadcba分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为ccbdadbadcba②分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子nnnbaba③分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为cbacbca异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为bdbcaddcba整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。知识点六整数指数幂①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即★nmnmaaa★mnnmaa★nnnbbaa★nmnmaaa（0a）★nnbaban★na1na（0a）★10a（0a）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。科学记数法若一个数x是0x1的数，则可以表示为n10a（10a1，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=-7101.25若一个数x是x10的数则可以表示为n10a（10a1，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120000000=8101.27个09个数字分式和分式方程3/9知识点七分式方程的解的步骤⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）⑵解整式方程，得到整式方程的解。⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。知识点八列分式方程基本步骤①审—仔细审题，找出等量关系。②设—合理设未知数。③列—根据等量关系列出方程（组）。④解—解出方程（组）。注意检验⑤答—答题。．【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验一、分式1、分式概念1.各式中，31x+21y,xy1,a51,—4xy,2xx,x分式的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2．在babaxxxba,5,3,2，a12中，是分式的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、下列各式：2ba，xx3，y5，1432x，baba，)(1yxm中，是分式的共有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、分式有意义（1）当x≠___时，分式22xx有意义；（2）当x____时，分式11xx有意义；（3）分式xx212中，当____x时，分式没有意义，当____x时，分式的值为零；（4）当x_____时，分式142x有意义。（5）当________________x时，分式8x32x无意义；（6）当x时，分式33xx无意义．（7）当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A.23xB.212xC.1xD.211x（8）.能使分式122xxx的值为零的所有x的值是（A0xB1xC0x或1xD0x或1x分式和分式方程4/9（9）已知当2x时，分式axbx无意义，4x时，此分式的值为0，则ab的值等于（）A．－6B．－2C．6D．24、分式的基本性质1．如果把yxy322中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（）A扩大5倍B不变C缩小5倍D扩大4倍2、若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）A、yx23B、223yxC、yx232D、2323yx3.填空：abyaxy；zyzyzyx2)(3)(6;)0(1053aaxyxya1422aa222yxyx=yx．23xx=23xx；4．不改变分式0.50.20.31xy的值，使分式的分子分母各项系数都化为整数，结果是5、下列各式中，正确的是（A．amabmbB．abab=0C．1111abbaccD．221xyxyxy5、约分1、把下列各式分解因式（12分）（1）ab+b2(2)2a2-2ab(3)-x2+9(4)2a3-8a2+82、约分（16分）（1）2912xxy(2)abba22(3)96922xxx(4)ababa2223、约分（1）22699xxx=；（2）882422xxx=；4、化简2293mmm的结果是（）A、3mmB、3mmC、3mmD、mm36、最简公分母1．在解分式方程：412xx＋2＝xx212的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母是___________________.2、分式,21xxyy51,212的最简公分母为。8、通分1．已知0x，xxx31211等于（）A、x21B、x61C、x65D、x611分式和分式方程5/92．化简的结果是329122mm（）A、962mB、32mC、32mD、9922mm3、计算xx1111的正确结果是（）A、0B、212xxC、212xD、122x9、分式的混合运算1.（11分）先化简，再求值：2111xxxx，其中x=2．2.（本题6分）先化简，再求值：111222xxxxx，其中x=123、（8分）先化简，再求值：11112xxx，其中：x=－2。10、负指数幂与科学记数法1．直接写出计算结果：（1）（-3）-2（2）32；（3）33()2；（4）0(13)．2、用科学记数法表示0.000501=．3、一种细菌半径是1.21×10-5米,用小数表示为米。11、分式方程1．若1044mxxx无解，则m的值是（）A.—2B.C.3D.—32．解方程：（1）325x＝13x（2）416222xxx＝1（3）21321xxx13、分式方程应用题19、（8分）甲打字员打9000个字所用的时间与乙打字员打7200个字所用的时间相同，已知甲、乙两人每小时共打5400个字，问甲、乙两个打字员每小时各打多少个字？20、（10分）一名同学计划步行30千米参观博物馆，因情况变化改骑自行车，且骑车的速度是步行速度的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求这位同学骑自行车的速度。22．列方程解应用题（本题7分）从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B乘车从甲地出发，结果同时到达。已知B乘车速度是A骑车速度的3倍，求两车的速度。8．小张和小王同时从学校出发去距离15千米的一书店买书，小张比小王每小时多走1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走x千米，则可列出的的方程是（）A、2115115xxB、2111515xxC、2115115xxD、2111515xx7、赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是（）A、1421140140xxB、1421280280xx分式和分式方程6/9B、1211010xxD、1421140140xx【例题精讲】1．化简：2222111xxxxxx2．先化简，再求值：22224242xxxxxx，其中22x．3．先化简11112xxx）（，然后请你给x选取一个合适值,再求此时原式的值．4解下列方程（1）013522xxxx（2）41622222xxxxx5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x千米，则根据题意所列方程正确的是()A.B.C.D.【当堂检测】1．当99a时，分式211aa的值是．2．当x时，分式112xx有意义；当x时，该式的值为0．3．计算22()abab的结果为．4.．若分式方程xxkx2321有增根，则k为（）A.2B.1C.3D.-25．若分式32x有意义，则x满足的条件是：（）A．0xB．3xC．3xD．3x6．已知x＝2008，y＝2009，求xyx4y5xyx4xy5xy2xyx2222的值7．先化简，再求值：4xx16x)44xx1x2xx2x(2222，其中22x8.解分式方程．(1)22011xxx(2)x2)3(x22xx；(3)11322xxx(4)11-x1x1x225、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下