一元二次方程全章导学案

第二十二章一元二次方程22．1一元二次方程第一课时教学内容：一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标：1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．态度、情感、价值观5．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键：1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程：一、复习引入1、什么是一元一次方程？2、一元一次方程的一般形式是什么？3、方程解的定义是怎样的呢?二、问题情境（1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？（2）小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？（3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？上述三个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？1、上面三个方程整理后含有___未知数,它们的最高次数是___,等号两边是__式。2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？请定义。三、探索新知一元二次方程的概念：只含有未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：叫二次项，叫一次项，叫常数项，是二次项系数，是一次项系数，思考：为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？练习：1、下列方程哪些是一元二次方程2.说出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项四、练习巩固1.关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0,当k时，是一元二次方程．2.关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0,当k时，是一元二次方程．当k时，是一元一次方程3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=0)0(0)7(0)6()2)(1(3)5(023)4(1)3(1)2(1)1(222222的常数为不等于mmxcbxaxxxxyxxxxxxx.2532xx（1）.32312xx（2）五、方程的解1)下面哪些数是方程的解?-4-3-2-101234A.1B.-1C.1或-1D.03、已知x=2是一元二次方程的一个解，则m=_____。4.已知m是方程x2+x－2009=0的一个根，求m2+m的值为。六、实际联系例4.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．补充作业设计（一）、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1B．p0C．p≠0D．p为任意实数（二）、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．（三）、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？062xx的值为则的一根是的一元二次方程已知关于axaxxax001)1()222022mxx22.2直接开平方法(直接开方法)教学内容：运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标：1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键：1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．教学过程：一、复习与诊断1、如果有则x叫a的平方根，也可以表示为x=。2、将下列各数的平方根写在旁边的括号里3、A：9（）；5（）；（）；B：8（）；24（）；（）；C：()；1.2（）3、x2=4，则x=______想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？二、试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流(1).χ2=25(2).χ2－121=0（3）9x2=16概括：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫探究（三）：１、一元二次方程（a-8）2=25与x2=4的形式有何联系？２、对比x2=4的求解过程，一元二次方程（a-8）2=25该如何求解？试解出此方程。实践与运用用直接开方法解下列方程（2）12（2－χ）2－9=0（3）χ2－2χ+1=49；（4）（2χ+1）2－χ2=0小结：1.直接开平方法的理论根据是2.2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或（χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。3.方程χ2=a(a≥0)的解为：方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：4：想一想：小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？（1）（χ+1）2－4=0补充作业设计（一）、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2B．p=4，q=-2B．C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3B．-3C．±3D．无实数根（二）、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．（三）、综合提高题1．解方程：（1）01232x（2）x2+4x+4=1（3）2（x+2）2－8=0；（4）302722）－（x（5）22(32)(23)xx2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．22.2解一元二次方程-----因式分解法复习引入:1、已学过的一元二次方程解法有什么？2、用直接开平方法来解的方程有什么特征?3、请解方程思考：以上方程除了用直接开方法外，还有没有其它方法？分析：方程左边可分解为：即：=0∴=0或=0分解因式法:当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.例1、解下列方程025912x0272313914222yx02592xA=0或Ｂ＝０.35,3521xx0615)1(2xxxx3)2(2)2(5)2(3)3(xxx例2、解方程:（1）x2-4=0;（2）(x+1)2-25=0（3）(3x+1)2－5=0（4）22213.xx例3：解下列方程（1）x2－3x－10=0(2)x2+7x+12=0（4）(x+3)(x－1)=5小结：用因式分解法解一元二次方程的步骤1、方程右边不为零的化为。2、将方程左边分解成两个的乘积。3、至少一次因式为零，得到两个一元一次方程。4、两个就是原方程的解。（4）18)2)(5)(3(xx六、布置作业：（一）、选择题1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x两边同除以x，得x=12．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-12B．-1C．12D．1（二）、填空题1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．（三）、综合提高题1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）22.2配方法教学内容：给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标：1、了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2、通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，再用配方法解决一些具体题目．重难点关键：1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的数是一次项系数一半的平方．一、课前小练习1.解下列方程(1)2x²=8(2)(x+3)²-25=0(3)9x²+6x+1=42.因式分解的完全平方式，你还记得吗?二、探索新知1、填一填2、想一想babaabab222222___)(___)(___)(___)(22222222____21)4(_____5)3(_____8)2(_____2)1(yyyyxxxxyyxxk，xkxk，kxxk，kxx则是一个完全平方式已知则是一个完全平方式已知则是一个完全平方式已知924)3(9)2(6)1(2223.你能解这个方程吗？x²+6x+4=0思考：以上解法中,为什么在方程x²+6x=-4两边加9?加其他数行吗?归纳：像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫三、能力提高练习：解下列方程（1）、x2-10x+25=7（2）、x2+8x-15=02、若a2+2a+b2-6b+10=0,求a、b的值。例3:你能用配方法解方程吗？0622xx怎么解？：例01522xx归纳：用配方法解一元二次方程的步骤:（1）二次项系数化为1：（2）移项（3）配方:（4）开方（5）求解（6）定解选用作业（一）、选择题1．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（12x-a）2=a3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2（二）、填空题1．如果x2+4x-5=0，则x=_____