直线与圆中的最值问题

二、弦长公式:直线与二次曲线相交所得的弦长1直线具有斜率k,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy,则它的弦长2221212121(1)()4ABxxxxxxkk1211yy2k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算.2当直线斜率不存在是,则12AByy.三、过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程，一般设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数)此方程不包括圆C2.四、对称问题1和最小，化异侧2差最大，化同侧例题分析1、如果实数yx,满足等式22(2)3xy，（1）求yx的最大值和最小值;（2）求yx的最大值与最小值；（3）求22xy的最大值与最小值.2、已知两定点(3,5)A，(2,15)B，动点P在直线3440xy上，当PA＋PB取最小值时，这个最小值为（）.A．513B．362C．155D．51023、已知点)8,3(A、)2,2(B，点P是x轴上的点，求当PBAP最小时的点P的坐标．直线与圆【解答】如图示：,考虑代数式的几何意义:⑴yx即圆上的点与原点所在直线的斜率.当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即yx取得最大值与最小值；⑵yx即过圆上点，且斜率为1的直线在y轴上截距；⑶22xy即圆上的点到原点距离的平方.当点位于圆与x轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与x轴的右交点时，点到原点的距离最大.解（1）设(,)Pxy为圆22(2)3xy上一点.yx的几何意义为直线OP的斜率，设ykx，则直线OP的方程为ykx.当直线OP与圆相切时，斜率取最大值与最小值.∵圆心到直线ykx的距离2222|20||2|11kkdkk，∴当22|2|31kk，即3k时，直线OP与圆相切.∴yx的最大值为3，最小值为3.（2）令yxb，即yxb，求yx的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为1的直线在y轴上截距的最大值与最小值.当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值.∵圆心到直线yxb的距离22|20||2|211bbd∴当|2|32b，即62b时，直线OP与圆相切.∴yx的最大值为62，最小值为62.（3）要22xy的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值.当点位于圆与x轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与x轴的右交点时，点到原点的距离最大；∵左交点坐标为(23,0)，右交点坐标为(23,0)∴22xy的最大值与最小值分别为23，23∴22xy的最大值与最小值分别为743，743.2【分析】先求出点A关于直线3440xy的对称点'A，连接A和B交直线于点P，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时PA＋PB取值最小，最小值为|'|AB.根据两点间的距离公式即可求得最小值。【解答】如图示：，设点A关于直线3440xy的对称点为'(,)Axy，则53134353()4()4022yxxy解得3,3xy即'(3,3)A22|'|(23)(153)513AB即PA＋PB的最小值为513.3【分析】先求出点B关于x轴的对称点'B，连接点A和点'B交x轴于P点，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时PBAP取值最小，最小值为|'|BA，点P的坐标即为'BA与x轴交点。【解答】如图示：，点B关于x轴的对称点为'(2,2)B，'BA：220xy'BA与x轴交点为(1,0)P即为所求.直线与圆中的最值问题一、直线与圆的交点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径之间的比较，或者是利用方程有解的问题。例1、若直线430xya与圆22100xy(1)相交(2)相切(3)相离分别求实数a的取值范围二、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离例2、求圆22234xy上的点到20xy的最远、最近的距离练习：求圆C:上的点与直线的最大值和最小值.三、有些最值问题要注意向函数问题转化。例3、方程ax2+ay2－4（a－1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.四、两个动点的最值问题总是转化成一个一定点到动点的最值问题例4、五、抓住式子的几何意义也是我们求最值的方法之一。211-22）（）（yx04yx的切线）（：为圆上一点，为直线21)1(0422yxCPTyxP.的最小值求切线PT