08级-研-矩阵论试题与答案

成绩中国矿业大学08级硕士研究生课程考试试卷考试科目矩阵论考试时间2008年12月研究生姓名所在院系学号任课教师中国矿业大学研究生培养管理科印制※1※一（15分）计算(1)已知A可逆，求10dAtet（用矩阵A或其逆矩阵表示）；（2）设1234(,,,)Taaaaα是给定的常向量，42)(ijxX是矩阵变量，求Td()dXαX；（3）设3阶方阵A的特征多项式为2(6)IA，且A可对角化，求kkAA)(lim。※2※二（15分）设微分方程组0dd(0)xAxtxx，508316203A，0111x（1）求A的最小多项式)(Am；（3）求Ate；（3）求该方程组的解。※3※三（15分）对下面矛盾方程组bAx312312111xxxxxx（1）求A的满秩分解FGA；（2）由满秩分解计算A；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LSx。※4※四（10分）设11213A求矩阵A的QR分解（要求R的对角元全为正数，方法不限）。五（10分）设(0,,2)TnARn（1）证明A的最小多项式是2()tr()mA；（2）求A的Jordan形（需要讨论）。※5※六（10分）设mnrAR，（1）证明rank()nIAAnr；（2）0Ax的通解是(),nnxIAAyyR。七（10分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)nnnnnnnnnnA（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。※6※八（15分）设A是可逆矩阵，11,BAA（这里矩阵范数都是算子范数），如果，证明（1）B是可逆矩阵；（2）11B；（3）11()BA。※7※参考答案一（15分）计算(1)已知A可逆，求10dAtet（用矩阵A或其逆矩阵表示）；（2）设1234(,,,)Taaaaα是给定的常向量，42)(ijxX是矩阵变量，求Td()dXαX；（3）设3阶方阵A的特征多项式为2(6)IA，且A可对角化，求kkAA)(lim。解（1）11100AtAtdeedtAdtdt1()AAeI（2）由412411jjjjjjaxaxX，412411)(jjjjjjTaxaxX得2423222114131211)()()()()()()()()(xXxXxXxXxXxXxXxXdXXdTTTTTTTTT4321432100000000aaaaaaaa（3）A的特征根为1236,0，()6A.由于A可对角化,即存在可逆矩阵C，使1600ACC，从而110()0ACCA.故11111limlim00.()600kkkkACCCCAA※8※二（15分）设微分方程组0dd(0)xAxtxx，508316203A，0111x（1）求A的最小多项式)(Am；（3）求Ate；（3）求该方程组的解。解（1）3(1)IA，2()(1)Am；（2）()(1)trabett，1408()3162014AtttterAetttt；（3）0112()1916Atttxtexett三（15分）对下面矛盾方程组bAx312312111xxxxxx（1）求A的满秩分解FGA；（2）由满秩分解计算A；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LSx。解（1）001011101111100111010AFG（不唯一）※9※（2）11211126422A；（3）11132LSxAb；四（10分）设11213A求矩阵A的QR分解（要求R的对角元全为正数，方法不限）解111124121311022A五（10分）设(0,,2)TnARn（1）证明A的最小多项式是2()tr()mA（2）求A的Jordan形（需要讨论）。证（1）易知rank()1A，tr()TA，故2()tr()()()TTmAAAAAAO又对任意的一次多项式()gc，()gAAcIO。反证，如果AcIO当0c时，AO，矛盾。当0c时，rank()rank()2AcIn，矛盾。（2）由()(tr())0mA根知，A的特征值只能是0或tr()TA※10※当tr()0TA时，()m无重根，A可对角化，再由rank()1A知0~0TAJ当tr()0TA时，A的特征值全是00，由0rank()1nIAn知00对应的特征向量只有1n的线性无关的，从而0~010AJ六（10分）设mnrAR，（1）证明rank()nIAAnr；（2）0Ax的通解是(),nnxIAAyyR。证（1）1rrTTTrnnnOIOOIAAIVUUVIVVOOOOOOrTTnrOOIOVIVVVOIOO所以rank()nIAAnr。（2）由()nAIAAAAAAAAO，知nIAA的列都是0Ax的解，其中又有nr个线性无关的，故其线性组合(),nnIAAyyR就是0Ax通解。※11※七（10分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)nnnnnnnnnnA（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。证：（1）1)1(11)1(111nniikkkkRkG互不交，说明A有n个不同的特征值，从而可对角化。（2）kG关于实轴对称，如果A有复特征值必成对共轭出现，而kG中只有一个特征值，所以必为实数。八（15分）设A是可逆矩阵，11,BAA（这里矩阵范数都是算子范数），如果，证明（1）B是可逆矩阵；（2）11B；（3）11()BA。证（方法一）（1）111()xAAxAAxABxBx1()ABxBx1xBxxBx（*）※12※因此，00xBx，说明B可逆。（2）由式（*），取1xBy1111ByBByyByy由算子范数的定义得11B（3）11111111()()BABABABABA（方法二）引理：设nnAC，若1A，则AI可逆，并有11()1IAA。（1）111()1IABABAABA（**）由引理知，11()ABIIAB可逆，从而B可逆。（2）1111()BIIABA，由式（**）和引理1111111111()11BAIIABIAB（3）同上。