初三数学-锐角三角函数教案

1一.教学目标：1.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．5.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．二、教学重难点：1．重点:（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住．（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．2．难点:（1）锐角三角函数的概念．（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力．三、知识点梳理知识点1．正弦：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；可得a=；c=余弦：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即，可得b=；c=课题锐角三角函数学生姓名年级初三日期2正切：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，可得a=；b=特殊角的锐角三角函数角度函数0°30°37°45°53°60°90°sinαcostan锐角三角函数值的变化情况:（1）锐角三角函数值都是正值（2）正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin，cos0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1,0≤cosA≤1（3）正切、余切的增减性：当0°90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。当角度在0°∠A90°间变化时，tanA0任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。A90B90得由BA知识点2．解直角三角形)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsincos对边邻边斜边ACBbac3方向角（或方位角）：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）。指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。四、锐角三角函数考点考点一：锐角三角函数的定义一．选择题（共6小题）1．（2012•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．B．C．D．12．（2017•奉贤区一模）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定3．（2016•广陵区二模）在正方形网格中，∠BAC如图所示放置，则cos∠BAC等于（）:ihlhlα4A．3B．C．D．4．（2015•蚌埠二模）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC的值为（）A．B．C．D．5．（2016•市中区三模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．6．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．二．填空题（共4小题）7．（2014•番禺区一模）已知圆锥的底面半径为10cm，侧面积为260πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则cosθ的值为．8．（2016•天河区一模）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则tan∠BAC=．9．（2016•越秀区一模）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=5，BC=6，则sinC=．10．（2016•新化县一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=．5三．解答题（共4小题）11．（2015•萝岗区一模）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．12．（2016•连云港）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）13．（2011•广州）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=．（1）求k的值和边AC的长；（2）求点B的坐标．考点二：特殊角的三角函数值一．选择题（共7小题）1．（2016•天水校级自主招生）计算cos30°的值为（）A．B．C．1D．32．（2016•洪泽县一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A等于（）A．30°B．45°C．60°D．不能确定3．（2016•雅安校级自主招生）已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A．0＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4．（2017•宝山区一模）已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=65．（2016•长宁区一模）若23tan32sin30AB，则以∠A、∠B为内角的ABC一定是（）.A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形6．（2016•安徽四模）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．（2016•罗定市一模）已知α为锐角，sin（α﹣20°）=，则α=（）A．20°B．40°C．60°D．80°二．填空题（共1小题）8．（2016•株洲模拟）在将Rt△ABC中，∠A=90°，∠C：∠B=1：2，则sinB=．三．解答题（共3小题）9．（2017•普陀区一模）计算：cos245°+﹣•tan30°．10．（2016秋•大连期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，且sinA=，BC=1.5，求AC．考点三：解直角三角形一．选择题（共3小题）1．（2013•越秀区校级二模）在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是（）A．3B．C．D．2．（2016•深圳模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，则AC=（）A．3B．9C．10D．153．（2006•烟台）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为（）7A．3B．C．D．二．解答题（共9小题）4．在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形．（1）∠B=60°，b=；（2）a=2，c=4；（3）∠A=30°，c=25；（4）a=8，b=8．5．（2016•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．6．（2014•番禺区校级二模）如图，为了测量不能到达对岸的河宽，在河的岸边选两点A、B，测得AB=100米，分别在A点和B点看对岸一点C，测得∠A=43°，∠B=65°，求河宽（河宽可看成是点C到直线AB的距离）．7．（2016•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=，sin∠DBC=，求对角线AC的长．88．（2016•梧州）如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．请你计算出这片水田的面积．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）9．（2016•包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）考点四：解直角三角形的实际应用方位角类1．（2016•白云区校级二模）海滨城市某校九（2）班张华（图5中的A处）与李力（图中的B处）两同学在东西方向的沿海路上，分别测得海中灯塔P的方位角为北偏东60°、北偏东30°，此时他们相距800米．（1）∠PBC=．（2）求灯塔P到沿海路的距离（结果用根号表示）92．（2014•番禺区校级模拟）马航事件牵动了全国甚至全世界人们的心，当得知MH370客机最后失踪地点是在印度洋南部某海域C处，“雪龙”号科考船立即从B处出发以60km/h的速度前往搜救．已知出发时在B测得搜救指挥基地A的方位角为北偏东80°，测得失踪地点C的方位角为南偏东25°．航行10小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°．求C到A的距离．3．（2013•苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P到海岸线l的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）4．（2016•广州校级一模）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．（1）点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，10只保留作图痕迹）（2）点C到公路ME的距离为2km，设AB的垂直平分线交ME于点N，点M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处没得点C位于点N的北偏西45°方向，求MN的长（结果保留根号）俯角仰角类1．（2016•广州）如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续飞行30m到达A′处，（1）求A，B之间的距离；（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．2．（2014•哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．3．（2014•番禺区校级模拟）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔CD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点C的仰角为45°，再往古塔方向前进至点B处，再测得古塔顶端点D的仰角为54°，AB=112m．求该古塔CD的高度（结果保留一位小数）．11坡度坡比类1．（2015•番禺区校级模拟）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走300米来到山脚A处