2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题-2007

数理统计与随机过程（研）试题第1页共2页北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研)课程试题学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请将答案写在答题本上并写明题号与详细解题过程。考试时间120分钟。考试日期：2008年1月10日一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254N，在某日生产的零件中抽取10件，测得重量如下：54.055.153.854.252.154.255.055.855.155.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.）？二、（15分）在数14159263.的前800位小数中,数字93210,,,,,各出现的次数记录如下数字0123456789频数74928379807377757691检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.）三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）重量x5101315202530长度y7.258.128.508.959.9010.9011.80求y关于x的一元线性回归方程，并进行显著性检验.取显著性水平050.，计算结果保留三位小数.四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：产品号工厂甲工厂乙工厂丙13828432422640348345044530395403250数理统计与随机过程（研）试题第2页共2页在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.,计算结果保留三位小数.五、（15分）设}),({0ttN是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321NNNP；（2）})(|)({4365NNP；（3）求协方差函数),(tsCN，写出推导过程。六、（15分）设{,}nXnT是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I，一步转移概率矩阵为1214142301335250P（1）求}|,,,,{202021054321XXXXXXP；（2）求}|{122nnXXP；（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。七、（15分）设有随机过程)sin()cos()(tBtAtX，其中A与B相互独立且都是均值为零，方差为2的正态随机变量，（1）分别求)(1X和)(41X的一维概率密度；（2）问)(tX是否是平稳随机过程？标准答案（仅供参考）一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254N，在某日生产的零件中抽取10件，测得重量如下：54.055.153.854.252.154.255.055.855.155.3如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取05.0）？解：按题意，要检验的假设是54:0H，因2未知，故用t检验法，由05.0，查t分布表得临界值2622290250.)(.t，由样本值算得382514654.,.tx数理统计与随机过程（研）试题第3页共2页因为26222.t，故接受假设0H，即在05.0时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异。2．设}),({0ttX是泊松过程，且对于任意012tt，)()]()([12123tttXtXE，则___})(,)(,)({654321XXXP,___})(|)({4365XXP156262321458!26!26!23}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({eeeeXXXXXXPXXXP解：66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({eeXXPXXP7、设马尔科夫链的状态空间为{0,1,2}I，一步转移概率矩阵为：1214142301335250P，求其相应的极限分布。解：（1）由马尔科夫与齐次性，可得{|}{|}{|}{|}10213243{|}{|}{|}5465762131312353545452500PPXbXcPXcXbPXaXcPXcXaPXaXcPXcXaPXbXc（2）因为所求为二步转移概率，先求二步转移概率矩阵17/309/405/24(2)8/153/101/617/303/2017/90PPP，故221{|}[{|}]1/6nnnnPXcXbPXcXb。数理统计与随机过程（研）试题第4页共2页北京工业大学2008—2009学年第一学期期末数理统计与随机过程（研）课程试题学号_____________姓名______________成绩_______________注意：试卷共八道大题，请写明详细解题过程。考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年1月6日一、食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一段时间需要检查机器工作情况。现抽得10罐，测得其重量（单位：克）495，510，505，498，503，492，502，512，497，506。假定重量X服从正态分布N（μ，σ2），试问机器工作是否正常？（取α=0.02）二、对某型号的电缆进行耐压试验，记录了53根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：测试电压3.83.94.04.14.24.34.44.54.64.74.8频数1123810106741问以上数据是否在0.10的水平下与正态分布相符？三、威士忌经贮存颜色变深，味道更鲜美，下表给出了威士忌酒的贮存年限及相应的浓度：年限(X)00.512345678浓度/10-6(Y)104.6104.1104.4105.0106.0106.8107.7108.7110.6112.11、给出威士忌酒浓度和贮存年限的关系。2、对回归方程进行显著性检验（α=0.05，保留一位小数）。3、解释回归系数的意义。4、预测贮存9年的威士忌酒的浓度（点预测）。数理统计与随机过程（研）试题第5页共2页四、用四种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机的将它们均分为4组，每组各服一种安眠药，睡眠时间如下所示：安眠药试验数据安眠药睡眠时间/hA16.26.16.06.36.15.9A26.36.56.76.67.16.4A36.87.16.66.86.96.6A45.46.46.26.36.05.9在显著性水平α=0.05下对其进行单因素方差分析，分析4种安眠药的作用是否相同？五、设{N(t)，t≥0}是强度为λ的泊松过程，分别求：（1）E[N(s)N(t+s)]；（2）0st时，P{N(s)=k|N(t)=n}；六、设{X(t)，t≥0}是具有零均值和协方差C(s,t)的正态过程，则对于任意的非负数s，t和τ，证明：（1）E[X2（t）]=C（t，t）；（2）E[X4（t）]=3E[X2（t）]；（3）D[X2（t）]=2C2（t，t）=2D2[X（t）]；七、A，B，C三家公司决定在某一时间推销一种新产品。当时它们各拥有1/3的市场，然而一年后，情况发生了如下的变化：（1）A保住40%的顾客，而失去30%给B，失去30%给C；（2）B保住30%的顾客，而失去60%给A，失去10%给C；（3）C保住30%的顾客，而失去60%给A，失去10%给B。如果这种趋势继续下去，试问第二年底各公司拥有多少市场份额？从长远来看，各公司的市场占有率情况又如何？八、设Z（t）=Xsint+Ycost，其中X，Y为相互独立同分布的随机变量，具有分布列X-12p2/31/3（1）求的均值函数与自相关函数；（2）讨论Z（t）是否为平稳过程。数理统计与随机过程（研）试题第6页共2页北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研)课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80x分，样本标准差8s分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.）？二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数k0123456≥7频数f81617106210试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布?（取显著性水平050.）三、某公司在为期10年内的年利润表如下：年份12345678910利润1.892.192.062.312.262.392.612.582.822.9(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.）。四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：玻璃金铂6.6786.6836.6616.6716.6816.6616.6756.6766.667数理统计与随机过程（研）试题第7页共2页6.6726.6786.6676.6746.6796.664在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0,计算结果保留三位小数。五、某大型设备在任何长度为t的时间区间内发生故障的次数ttN0),(是强度的Poisson过程，记设备无故障运行时间为T。（1）求})(|)({4365NNP；（2）求自相关函数),(tsRN，写出推导过程；（3）求T的概率分布函数；（4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。六、（15分）设{,}nXnT是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,I，一步转移概率矩阵为2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P（1）求}4,2,1,3,2{54321XXXXXP；（2）求}1|3{2nnXXP；（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。七、设X(t)是平稳随机过程，若)2cos()()(ttXtY，其中是在)2,0(上服从均匀分布的随机变量且与X(t)独立，问)(tY是否是平稳随机过程？数理统计与随机过程（研）试题第8页共2页北京工业大学2011-2012学年第一学期期末数理统计与随机过程(研)课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。数据结果保留3位小数。考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2012年1月10日1.(10分)某种导线要求其电阻的标准差不得超过0.005（Ω），今在生产的一批该种导线中取9根，测得)(007.0s.设总体服从正态分布，问从这些样本看这批导线是否合格？（取显著性水平α=0.05）2.(15分)袋中装有8只球,其中红、白球若干.在其中任取3只,记录红球的个数X,然后放回，再任取3只，记录红球的个数，然后放回。如此重复进行了112次。其结果如下：x0123频数（次数）1315525试检验假设:.3,2,1,0,38335:383350kkkCCCkXPXHkk服从超几何分布：是