贝叶斯讲义-先验分布与后验分布

11第一章先验分布与后验分布经济学院统计系:陈耀辉MadebycyhMadebycyh2一、统计推断中可用的三种信息二、贝叶斯公式三、共轭先验分布四、超参数及其确定五、多参数模型六、充分统计量第一章先验分布与后验分布31.总体信息：总体分布或所属分布族提供给我们的信息2.样本信息：从总体抽取的样本提供给我们的信息3.先验信息：在抽样之前有关统计推断的一些信息。§1.1统计推断中可用的三种信息4§1.2贝叶斯公式贝叶斯统计学的基础是著名的贝叶斯公式，它是英国学者贝叶斯（T.R.Bayes1702~1761）在他死后二年发表的一篇论文《论有关机遇问题的求解》中提出的。经过二百年的研究与应用，贝叶斯的统计思想得到很大的发展，目前已形成一个统计学派—贝叶斯学派。为了纪念他，英国历史最悠久的统计杂志《Biometrika》在1958年又全文刊登贝叶斯的这篇论文。5一、贝叶斯公式的三种形式初等概率论中的贝叶斯公式是用事件的概率形式给出的。可在贝叶斯统计学中应用更多的是贝叶斯公式的密度函数形式。1.贝叶斯公式的事件形式：假定是互不相容的事件，它们之和包含事件B，即，则有：kAA,,1kiiA1kiiAB1kiiiiiiABPAPABPAPBAP1)/()()/()()/(6假设Ⅰ随机变量X有一个密度函数p(x;θ)，其中θ是一个参数，不同的θ对应不同的密度函数，故从贝叶斯观点看，p(x;θ)是在给定θ后的一个条件密度函数，因此记为p(x│θ)更恰当一些。这个条件密度能提供我们的有关的θ信息就是总体信息。假设Ⅱ当给定θ后，从总体p(x│θ)中随机抽取一个样本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信息就是样本信息。2.贝叶斯公式的密度函数形式：在给出贝叶斯公式的密度函数形式之前，先介绍以下贝叶斯学派的一些具体思想或者叫着基本假设：7假设Ⅲ从贝叶斯观点来看，未知参数θ是一个随机变量。而描述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分布称为先验分布，其密度函数用π(θ)表示。（1）先验分布定义1将总体中的未知参数θ∈Θ看成一取值于Θ的随机变量，它有一概率分布，记为π(θ)，称为参数θ的先验分布。（2）后验分布在贝叶斯统计学中，把以上的三种信息归纳起来的最好形式是在总体分布基础上获得的样本X1，…，Xn，和参数的联合密度函数：)(),,(),,,(11nnxxpxxh8在这个联合密度函数中。当样本给定之后，未知的仅是参数θ了，我们关心的是样本给定后，θ的条件密度函数，依据密度的计算公式，容易获得这个条件密度函数：nXX,,1dxxpxxpxxmxxhxxnnnnn)(),,()(),,(),,(),,,(),,(11111这就是贝叶斯公式的密度函数形式，其中称为θ的后验密度函数，或后验分布。而：),,(1nxxdxxpxxmnn)(),,(),,(11是样本的边际分布，或称样本的无条件分布，它的积分区域就是参数θ的取值范围，随具体情况而定。nXX,,193.贝叶斯公式的离散形式：当是离散随机变量时，先验分布可用先验分布列π(θi)，这时后验分布也是离散形式：假如总体X也是离散的，则只须将p(x|θ)换成P(X=x|θ)即可。,2,1)()|()()|()|(ixpxpxjjjiii，10前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ已有一个认识，这个认识就是先验分布π(θ)。通过试验，获得样本。从而对θ的先验分布进行调整，调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结果就是后验分布。后验分布是三种信息的综合。获得后验分布使人们对θ的认识又前进一步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ的认识由π(θ)调整到。所以对θ的统计推断就应建立在后验分布的基础上。),,(1nxx),,(1nxx),,(1nxx二、后验分布是三种信息的综合11例1.4设事件A的概率为，即。为了估计而作n次独立观察，其中事件A出现次数为X，则有X服从二项分布即)(A),(nb.,,1,0,)1()(nxCxXPxnxxn解题步骤：1.作贝叶斯假设。如果此时我们对事件A的发生没有任何了解，对的大小也没有任何信息。在这种情况下，贝叶斯建议用区间（0，1）上的均匀分布作为θ的先验分布。因为它在（0，1）上每一点都是机会均等的。因此：others,010,1)(2.计算样本X与参数的联合分布：),(xh10,,,1,0,)1(nxCxnxxn此式在定义域上与二项分布有区别。如何求出后验分布？12nxnxnxCdxhxmxn,,1,0,)2()1()1(),()(1010,)1()1()1()2()(xnxxnxnx)1,1(~xnxBeX即：5.具体算例。拉普拉斯计算过这个概率,研究男婴的诞生比例是否大于0.5?如抽了251527个男婴,女婴241945个。他选用U(0，1)作为θ的先验分布，于是可得θ的后验分布Be(x+1,n-x+1),其中n=251527+241945=493472，x=251527。由此拉普拉斯计算了“θ≤0.5”的后验概率：故他断言男婴诞生的概率大于0.5。425.001015.1)1()1()1()2()/5.0(dxnxnxPxnx4.利用贝叶斯公式可得的后验分布：3.计算X的边际密度为:13注：1.伽玛分布与贝塔分布简介：0,0,10,)1()()()(),;(11qpqpqpqppqp0,0,)()()(),(0,0,)1(),(!)1(,0,)(101101qpqpqpqpBqpdxxxqpBnnsdxexsqpxs定义：定义在[0，1]上，且用密度函数：表示的概率分布称为βⅠ型分布，记为βⅠ(p,q)或者βe(p,q)。142.特例：当p=q=1时，βⅠ(1,1)型分布即为区间[0，1]上的均匀分布；当p=q=1/2，βⅠ(1/2,1/2)型分布称为反正弦分布，密度函数为：设，则的密度函数为：10,)1(1)(xxxxp)1,0(Uxi10,)1()!()!1(!)(1xxxknknxpknk即：)1,(~)(knkxIk)(kx3.数字特征:153.为什么将贝塔分布作为θ的先验分布族是恰当的？(1)参数θ是废品率，它仅在（0，1）上取值。因此，必需用区间（0，1）上的一个分布去拟合先验信息。β分布正是这样一个分布。(2)β分布含有两个参数p与q，不同的p与q就对应不同的先验分布，因此这种分布的适应面较大。(3)样本X的分布为二项分布b(n,θ)时，假如θ的先验分布为β分布，则用贝叶斯估计算得的后验分布仍然是β分布，只是其中的参数不同。这样的先验分布(β分布)称为参数θ的共轭先验分布。选择共轭先验分布在处理数学问题上带来不少方便。16例1.5投资决策问题为了提高某产品的质量，公司经理考虑增加投资来改进生产设备，预计需投资100万元，但从投资效果看，下属部门有两种意见：θ1：改进生产设备后，高质量产品可占90%θ2：改进生产设备后，高质量产品可占70%问：公司经理怎样决策？注：根据过去的经验知：θ1的可信度为40%，θ2的可信度为60%17§1.3共轭先验分布一、共轭先验分布定义2设是总体分布中的参数（或参数向量），π(θ)是的先验密度函数，假如由抽样信息算得的后验密度函数与π(θ)有相同的形式，则称π(θ)是的（自然）共轭先验分布。注意：共轭先验分布是对某一分布中的参数而言的。如正态均值、正态方差、泊松均值等。离开指定参数及其所在的分布去谈论共轭先验分布是没有意义的。18(2)确定先验分布:例1.6证明：正态均值（方差已知）的共轭先验分布是正态分布。证明思路：(1)写出样本的似然函数:19(3)计算后验分布:2021补充例题：设X表示人的胸围，根据经验，胸围是近似服从正态分布的。现测量了n=10000个人的胸围，得样本均值为39.8(cm)，样本方差为4，假设θ的先验分布为N(38,9)，求θ的后验分布。(答案：N(39.8,1/2500))说明：样本较大时，似然函数起决定作用，先验信息几乎不起做用。22二、怎样简化后验分布的计算——省略常数因子在给定样本分布p(x|θ)和先验分布π(θ)后可用贝叶斯公式计算θ的后验分布：π(θ)=p(x|θ)π(θ)/m(x)，由于m(x)不依赖于θ，在计算θ的后验分布中仅起到一个正则化因子的作用。假如把m(x)省略，把贝叶斯公式改写成如下等价形式：其中符号“”表示两边仅差一个常数因子，一个不依赖于θ的常数因子。上式右端称为后验分布的核。)()|()|(xpx)|(x23利用后验分布的核重新证明例1.624例1.7证明：二项分布的成功概率θ的共轭先验分布是贝塔分布。证明：设总体X~b(n,θ),则xnxnb)1(),(。再设θ的先验分布为贝塔分布,即11)1(),(e，其中参数已知。由此可写出θ的后验分布：10,)1()|(11xnxx这是贝塔分布的核，其密度函数为：10,)1()()()()|(11xnxxnxnx25三、共轭先验分布的优缺点共轭先验分布在很多场合被采用，因为它有两个优点：（1）计算方便。（2）后验分布的一些参数可得到很好的解释。不足：怎样找到合适的先验分布？26例1.8例1.6中后验均值与后验方差的合理解释。由例1.6知其中是用方差倒数组成的权，于是后验均值是样本均值与先验均值的加权平均。而可解释为：后验分布的精度是样本均值分布的精度与先验分布精度之和，增加样本量n或减少先验分布方差都有利于提高后验分布的精度。)1(2202220202202201xxxAB22020122220211111n27例1.9对例1.7中后验分布的均值和方差的解释。分析：后验分布Be(α+x,β+n-x)的均值和方差可写为：282930四、常用的一些共轭先验分布共轭先验分布选取的一般原则：是由似然函数L(θ)=p(x|θ)中所含的因式所决定的，即选与似然函数具有相同核的分布作为先验分布。例1.10设是来自正态分布的一个样本观测值，其中θ已知，求方差的共轭先验分布。nxx,,1),(2N231解题的基本思路：写出样本的似然函数：么分布具有这种形式的核呢？323334常用的一些共轭先验分布总体分布参数共轭先验分布后验分布的期望正态分布均值正态分布正态分布方差倒Γ分布IGa(a,b)二项分布成功概率β分布Poisson分布均值Γ分布Ga(a,b)指数分布均值的倒数Γ分布Ga(a,b)),(2N2222x),(pnb),(banxbaxa)(1bxa),(2N),(2N35§1.4超参数及其确定一、超参数的定义：先验分布中所含的未知参数称为超参数二、估计方法：共轭先验分布是一种有信息的先验分布，故其中所含的超参数应充分利用各种先验信息来确定它，下面用一个例子来介绍目前国内外文献中对超参数的估计方法：问题：二项分布中成功概率θ的共轭先验分布是贝塔分布Be(α,β)，怎样确定两个超参数α和β？361.利用先验矩：22)1()(S)1()1(22S372.利用先验分位数：假如根据先验信息可以确定贝塔分布的二个分位数，则可用这两个分位数来确定α与β，譬如