关于导函数性态的讨论与研究

大庆师范学院本科生毕业论文关于导函数的性态讨论与研究系别、专业数学系、数学与应用数学研究方向数学教育学生姓名刘佳学号200403052530指导教师姓名刘荣辉指导教师职称讲师2009年6月7日大庆师范学院毕业论文I关于导函数的性态的讨论与研究04数本七班刘佳摘要:文章给出了导函数的若干个性质，如导函数的介值性，无第一类间断点、有界性、导函数的极限、连续性以及函数的一致连续性与导函数有界性的关系等等。关键词:导函数；介值性；间断点；有界性；极限；连续；一致连续Abstract:Derivativefunctionoftheiroriginalfunctionandtheexistenceofthespecialnatureofsomedelveintothesepropertiescannotonlyleadtofurthergrasptheessenceoftheirfunctionattributes,butalsocontributetobetterunderstandingofthemathematicalanalysisofsomebasicknowledgeofpointsofunderstanding.Inthispaper,adetaileddescriptionofthederivativefunctionofintermediatevalue,boundedness,limit,continuityandconsistentcontinuity,andthecorrespondingexample.Keywords:Derivativefunction;intermediatevalue;boundedness;limit;row;uniformlycontinuous大庆师范学院毕业论文II目录一、引言.....................................................................................错误!未定义书签。二、正文..............................................................................................1（一）导函数的介值性...............................................................................2（二）导函数无第一类间断点.............................................................................................3（三）导函数的有界性.........................................................................................................4（四）导函数的极限.............................................................................................................4（五）导函数的连续性.........................................................................................................7（六）函数的一致连续性与导函数有界性的关系.............................................................9三、结束语.............................................................................................................10致谢辞.....................................................................................................................11参考文献.................................................................................................................12大庆师范学院毕业论文1一、引言导函数是一种特殊的函数，它的引入对于解决实际问题有着很重要的意义.文章主要对它的一些性质进行讨论，首先给出它的定义和一些比较简单的性质。定义1：设函数y=f(x)在(a,b)内任意一点处都可导，则称函数f(x)在区间(a,b)内可导。若f(x)在区间(a,b)内可导，则对于区间(a,b)内的每一个x值，都有一个导数值)(xf与之对应，所以)(xf也是x的函数，叫做f(x)的导函数，简称导数。记作)(xf，y，dxdy，dxdf。。若函数)(xF在区间I上处处可导，Ix，令)()(xfxF（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称)(xf为I上)(xF的导函数。)(xF为)(xf在区间I上的一个原函数。下面给出它的几个简单性质。性质1若函数)(xfy是偶函数且可导，则其导函数)(xfy是奇函数。性质2若函数)(xfy是周期函数且可导，则其导函数)(xfy也是周期函数。性质3若函数)(xfy可导其图象关于直线ax对称，则其导函)(xfy数的图象关于点))(,(afa对称。性质4若函数)(xfy可导且存在反函数0)(,0)(1yfxf，则1))(()(1yfxf。性质5若函数)(xfy，Rx，对于Rxx21、有)()()(2121xfxfxxf，且1)0(f，则)()(xfxf。以上这些性质我们很熟悉，下面给出其它一些性质，并给出证明。二、正文在一元微分学中，我们知道，如果函数)(xfy在闭区间ba,上连续，则)(xfy在ba,上具有有界性与介值性。如果函数)(xfy在ba,上不连续，那么不一定具有大庆师范学院毕业论文2有界性与介值性。那么在闭区间上的可导函数)(xF，其导函数)(xf在ba,上是否具有有界性与介值性呢？回答是肯定的，不论导函数)(xf在ba,上是否连续，均有这个结论。下面我们就给出导函数的有界性与介值性。（一）导函数的介值性定理1：若在区间I上，)(xf是)(xF的导函数，对任意的Iba,，c为介于)(af与)(bf之间的任何实数))()()()((bfcafbfcaf或，则至少存在一点),(ba，使得cf)(。证明：对任意的Iba,，不妨假设)()(bfaf，)()(bfcafc：作辅助函数cxxFxG)()(：则)(i)(xG在ba,上处处可导，且0)()()(cafcaFaG，0)()()(cbfcbFbG，只要能证明：存在),(ba，使得0)(G，即0)(cF，亦即cf)(即可。错误!未找到引用源。，所以ax，x与a充分接近时有)()(aGxG。同理由0)(bG知bx且x与b充分接近时，有)()(bGxG。故)(xG在端点a,b出不取得最小值。但)(xG连续，它在闭区间ba,上有最小值，所以存在),(ba，使得由Fermat定理有0)(G。例1设函数)(xf在区间),(上二次可微，且有界，试证存在点),(0x，使得0)(0xf。证明：若)(0xf变号，则由导函数的介值性，存在),(，使得0)(0xf。利用反证法证明：若)(0xf不变号，不妨设0)(0xf（0)(0xf类似可证），则)(xf大庆师范学院毕业论文3严格增。取),(0x使0)(0xf，若0)(0xf，则当0xx，并令x时，))(()())(()()(00000xxxfxfxxfxfxf。若0)(0xf，则当0xx，并令x时，))(()())(()()(00000xxxfxfxxfxfxf与)(xf有界矛盾，因此假设不成立，所以存在点),(0x，使得0)(0xf。推论1：若)(xf在I上不具介值性，则)(xf在I上一定不存在原函数。例2设函数)(xf在ba,上连续，kbfaf)()(，0)()(bfaf，则至少存在一点ba,使kf)(。证明：因为)(xf在ba,连续，所以由介值性定理知，)(xf必是ba,上某函数的导函数。不妨假设0)(af，0)(bf，所以，由保号性可知，存在],(1bax，),[2bax，使kafxf)()(1，kbfxf)()(2，而)(xf在21,xx或12,xx上连续，k是)(1xf与)(2xf之间的一个数，从而)(xf为21,xx或12,xx上某函数的导函数，由导函数的介值性定理得知，在1x与2x之间至少存在一点，使kf)(，因而至少存在一点),(ba，使kf)(。为了得到导函数的有界性，我们先给出下面的定理。（二）导函数无第一类间断点定理2：若在区间I上，)(xf是)(xF的导函数，则)(xf在I上没有第一类间断点。证明：假设在区间I上)(xf有第一类间断点0x，由于)(xf是区间I上)(xF的导函数，所以有：同理可证，)0()(00xfxf。推论2若)(xf在I上有第一类间断点，则)(xf在I上不存在原函数。大庆师范学院毕业论文4顺便指出：在I上有第二类间断点的函数)(xf可能有原函数也可能没有原函数。例3设函数)(xf，证明不存在一个函数以)(xf为其导函数。证明：显然0x是)(xf的第一类间断点，所以由推论2知，)(xf在),(上不例存在原函数，即不存在一个函数以)(xf为其导函数。例4)(xD显然，在),(内的任一点都是)(xD的第二类间断点，但)(xD在任意闭区间ba,内不具介值性，由推论2知，)(xD在ba,内不存在原函数。定义4:若函数)(xf在0x点处的左右极限至少有一个为无穷大，则称0x点为函数)(xf的无穷型间断点。定理3：:如果函数)(xf在ba,上可导，则导函数)(xf在ba,上没有无穷型间断点。综上所述，可地如下推论：推论3设)(xF在ba,上可导，如果其导函数)(xf在ba,上存在间断点，则必为非无穷型间断点。（三）导函数的有界性定理4：如果)(xF在ba,上可导，则其导函数)(xf在ba,上必有界。证明：如果)(xf在ba,上连续，显然在ba,上有界。如果)(xf在ba,上不连续，存在间断点，由推论3知，该间断点必为非无穷型间断点，则)(xf在ba,上仍有界。这就证明了闭区间上的可导函数在该区间上必有界。（四）导函数的极限1、导函数)(xf在0xx处的极限与原函数)(xF在0xx处的可导性定理5：若函数)(xF在ba,内连续，在ba,中除点0x外处处可导，且大庆师范学院毕业论文5存在，那么函数)(xF在0xx处可导，且。证明：任取异于0x的bax,，在xx,0或0,xx上应用Lagrange中值定理，有)()()(00fxxxFxF,其中xx,0或0,xx。两边同取0xx时的极限，。证毕。例4已知21arcsin)(xxxf，求)(xf。解：函数)(xf的定义域为1,1，当1,00,1x