直线与方程

直线灵宝实验高级中学张好科直线的倾斜角和斜率两条直线的位置关系直线系直线方程的五种形式平面直角坐标系中的直线直线的倾斜角直线的斜率点斜式斜截式两点式截距式一般式重合平行相交返回一直线倾斜角与斜率:１．直线倾斜角的定义：２．直线倾斜角的取值范围：３．直线斜率的定义：４．已知直线上两个点，则直线斜率的计算公式：X轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．1800tank18090909000.000Kkk没有斜率).(21211212xxyyxxyyk或方法总结：当倾斜角为锐角时，倾斜角越大斜率越大，且斜率都大于零当倾斜角为钝角时，倾斜角越大斜率越大，且斜率都小于零.21向量向量都称为直线的方向及与它平行的直线上的向量PP),(121221yyxxPP特别地是（1，k)也是直线的方向向量1.下列哪些说法是正确的（）A、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B、直线的倾斜角越大，斜率也越大C、平行于x轴的直线的倾斜角是0或πD、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等E、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等F、直线斜率的范围是RG、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。E、F围是的斜率的取值范么直线为端点的线段相交，那，、，且与以，过点．直线lBAPl)03()32()21(2xyoABP.521,215，，由图可知，，解法一：kkkPBPA.521.521353195253195)32)(3(532)1(，，，或解得，则，将两式联立，解得：，的方程为而线段，的方程为解法二：设kkkkkkkxxxyABxkyl二。直线方程归纳名称已知条件标准方程适用范围kyxP和斜率，点)(111)(11xxkyy斜截式点斜式两点式截距式一般式轴上的截距和斜率ykbkxy轴的直线不垂直于x轴的直线不垂直于x)()(222111yxPyxP，和点，点211211xxxxyyyy轴的直线、不垂直于yxbyax轴上的截距在轴上的截距在1byax不过原点的直线轴的直线、不垂直于yx两个独立的条件0CByAx不同时为零、BAL1:y=k1x+b1L2:Y=K2x+b2（K1,k2均存在）L1:A1X+B1Y+C1=0L2:A2X+B2Y+C2=0（A1、B1,A2、B2均不同时为0）平行K1=K2且b1≠b2重合K1=K2且b1=b2相交K1≠K2垂直K1k2=-102121BBAA三:判断两条直线的位置关系01221BABA01221BABA方程组：A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0的解一组无数解无解两条直线L1,L2的公共点直线L1,L2间的位置关系一个无数个零个相交重合平行四:直线的交点个数与直线位置的关系21221221)()(yyxxPP22210210yyyxxx1、两点间的距离公式2,中点坐标公式3.点到直线的距离公式：2200BACByAxd五:关于距离的公式两平行直线间的距离公式：2221BACCd课前练习1、直线9x－4y=36的纵截距为（）(A)9(B)－9(C)－4(D)2、如图，直线的斜率分别为k1、k2、k3，则（）（A）k1k2k3（B）k3k1k2（C）k3k2k1（D）k1k3k2L1xyL2L3O943、过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有（）(A)1(B)2(C)3(D)45、如果直线mx＋y－n=0与x＋my－1=0平行，则有（）(A)m=1(B)m=±1(C)m=1且n≠－1(D)m=－1且n≠-1或者m=1且n≠14、设Ａ、Ｂ是x轴上的两点，点Ｐ的横坐标为２，且|ＰＡ|＝|ＰＢ|，若直线ＰＡ的方程为x－y＋1=0，则直线ＰＢ的方程是（）(Ａ)x＋y－5=0(B)2x－y－1=0(C)x－2y＋4=0(D)2x＋y－7=0BACAD（3）已知ab0,ac0,那么ax＋by＋c=0必不经过（）。（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限C求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；(5)经过点N(-1,3)且在轴的截距与它在y轴上的截距的和为零.2x+3y-1=02x-y+5=0x+y-1=0或3x+2y=04x+y-6=0或3x+2y-7=003yx04yx或.(6)求过点(2,1)和点(a,2)的直线方程.(7)试写出经过P(2,1),Q(6,-2)两点的直线的两点式，点斜式，一般式，截距式，斜截式方程。04)2(ayaxyx例1：过点A（3，0）作直线l，使它被两条相交直线2x－y－2＝0和x＋y＋3＝0所截得的线段恰好被点A平分，求直线l的方程。OABC解法一：待定系数法1.若直线斜率不存在；2.若直线斜率存在；解法二：设A、B两点坐标yx例2：如图，已知正方形ABCD的中心为E(-1,0)，一边AB所在的直线方程为x-3y-5=0，求其他各边所在的直线方程。EABCD8、点和关于直线l对称，则l的方程为（）A、B、C、D(0,1)A(2,0)B2430xy4230xy2430xy4230xy10、设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x,则被y=x反射后,反射光线所在的直线方程是()A．x-2y-1=0B．x-2y+1=0C．3x-2y+1=0D．x+2y+3=09、光线通过点A（2，3），经直线x＋y＋1＝0反射，其反射光线通过点B（1，1），求入射光线和反射光线所在的直线方程。6、已知点A(5,8),B(4,1)，则A点关于B点的对称点为__________。7、求直线3x-y-4=0关于点P(2,1)对称的直线l的方程为___________。(3,-6)3x-y-6=0ByxABA,A总结：四类对称关系。0y012yx例3：在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为，∠A的平分线所在直线的方程为，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．yxBAC例4：⑴已知A(2，0)，B(－2，－2)，在直线L：x＋y－3=0上求一点P使PA+PB最小.⑵直线l：y=2x＋3，A（3，4），B（11，0），在l上找一点P，使P到A、B距离之差最大.yxABA，PPA=PA，PA+PB=PA，+PBP例5：(1)已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2,－3),B(3,0)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的值范围。(2)已知直线l的方程为y=-2x+b，且与以A(－2,－3),B(3,0)为端点的线段有公共点，则直线b的值范围。(3)两直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（）A.－1＜a＜2B.a＞－1C.a＜2D.a＜－1或a＞2(4)下面三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能构成三角形，求m的取值集合．(5)设直线l的方程为(a-2)y=(3a-1)x－1．若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．D例6、某房地产公司要荒地ABCDE上划出一块长方形地面（不改变方位）进行开发，问如何设计才能使开发面积最大？并求出最大面积。（已知BC=210，CD=240，DE=300，EA=180）ABCDEP.)2,1(:的方程加适当的条件，求直线请添，过定点已知直线问题lPlxyP(1,2)32132O1截距相等)1(的距离最大时原点到直线l)3(距离相等与点)1,3(),0,1()4(BA2)2(的距离为原点到直线lxyP(1,2)32132O1.)2,1(:的方程加适当的条件，求直线请添，过定点已知直线问题lPl两点分别交于轴的正半轴轴与BAyx,AB,,两点轴的正半轴分别交于轴与BAyxxyP(1,2)32132O1AB时的面积为10(1)OAB的面积最小时OAB)2(的周长最小时OAB)3(最小时OBOA)4(最小时PBPA)5(3、已知点A(1,8),B(-5,2),则线段AB中点M的坐标是()4、已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB中点M的坐标是()2,22121yyxx-2，5二：对称问题1、点与点的中心对称练1：点A(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点A/的坐标是()-4,-1练2：过点P(1,3)与两坐标轴交成的线段以P为中点的直线方程_____分析：用中点坐标公式可求的直线在坐标轴的截距分别为2和6用截距式写出方程为x/2+y/6=1即3x+y-6=0例1：求直线2x-3y+6=0关于点A（1，2）对称的直线方程方法：用相关点法——设直线上的点为P(x1,y1),点P关于A点的对称点为P/(x,y),利用中点坐标公式推出用x,y表示x1,y1的表达式后代入直线方程化简即可.x-3y+1=02、直线关于点的中心对称问题3、求点关于直线的对称点—轴对称练3：已知点A（-4，6），则(1)A关于x轴的对称点A/坐标是（）(2)A关于y轴的对称点A/坐标是（）(3)A关于直线y=x轴的对称点A/坐标是（）6，-4-4，-64，6例：求点A（-1，3）关于直线l：x+y-1=0的对称点基本方法：设所求点为A/(a,b)利用斜率和中点在对称轴上建立关于a,b的两个方程而求之（0，4）练4：在x轴上求一点P，使点P到点A(-2,1)和B(4,5)的距离之和最小P(-1,0)方法：利用轴对称求得A点关于x轴的对称点A/，直线A/B与x轴的交点为所求例(光线反射问题)有一条光线从点A(-2,1)射到直线l:x-y=0上后在反射到点B(3,4),求反射光线的方程方法：先求点A关于直线l的对称点A/的坐标，再由点A/和B确定反射光线的方程7x-3y-13=0例2：已知直线l:x-2y+2=0,求点P(2,3)关于直线l的对称点的坐标分析：设所求点为P/（a,b),利用线段PP/的中点在对称轴上；直线PP/与直线l的斜率的积等于-1，列两个方程求出a,b的值.（14/5，7/5）1.与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程为：Ax+By+m=0（其中m≠C）；直线系方程的种类1:yox2．与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:Bx-Ay+m=0（m为待定系数）.直线系方程的种类1:yxo直线系方程的种类2:3.过定点P（x0，y0）的直线系方程为：A(x-x0)+B(y-y0)＝0yxo推导：设直线的斜率为BA)xx(BAyy00A(x-x0)+B(y-y0)＝0直线系方程的种类2:4.若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1＋m(A2x+B2y+C2)=0,其中m为待定系数.yox4.若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1＋m(A2x+B2y+C2)=0,其中m为待定系数.,0CyBxA0CyBxA)y,(x22211100的交点与是设,0CyBxA0CyBxA:,)y,(x202021010100且得入二方程代所以A1x0+B1y0+C1+m(A2x0+B2y0+C2)=0证明：直线A1x0+B1y0+C1+m(A2x0+B2y0+C2)=0经过点（x0，y0）直线系方程的应用:例1.求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。解法1：将方程