线性代数证明题答案

四、证明题：1、（本题6分）证明：()OEAAAA=−⇒=,2∵，从而nEARARERn≤−+≤=)()()(，故nEARAR=−+)()(。2、（本题10分）证明：设有Pllllrr∈−，121,,⋯，使οββββ=++++−−rrrrllll112211⋯，而rrrrllllββββ++++−−112211⋯=rrrrrrrrlklklklααααααα+++++++−−−)()()(111222111⋯=rrrrrrlklklkllllαααα)(112211112211++++++++−−−−⋯⋯，又因rrαααα,,,,121−⋯是线性无关的向量组，所以有，0,0,0121===−rlll⋯0112211=++++−−rrrlklklkl⋯，即有00,0,0121====−rrllll，⋯，故rrββββ，，，，121−⋯线性无关。3、（本题8分）证明：由()()0)1(22122222222222222=−+−+−=−−−−−−−−−−−−=−−banabaaabababababaababababaaAEnλλλλλλ⋯⋮⋯⋮⋮⋮⋯⋯得A的特征值)1(],)1(1[23221babnan−====−+=λλλλ⋯，nabλλλλ===∴⋯∵3212,0,10，故A的最大特征值是])1(1[21bna−+=λ。4、（本题8分）证明：DxxxaaaaxaxDaxxDaannnncnncDnnnn=−−−+====+====++−−−−−−1000010000011221121111⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯按展开按展开将()=++==+++−−−−−xDaxaxDaxaxannnnnnn22122331⋯⋯⋯=−+++++−−−xxaxaaxaxannnn2213311⋯=+++++−−−xaxaxaxannnnn11221⋯5、（本题10分）证：（1）若|A*|≠0，则A*可逆，由AA*=A*A=|A|E，得|A|(A*)-1=0，于是A*=0，这与|A*|≠0矛盾，所以|A*|=0。（2）若A不可逆，即0=A，由(1)知：0=∗A，从而有1−∗=nAA；若A可逆，由EAAA=∗，可得nAEAAAAA===∗∗，即nAAA=∗，故1−∗=nAA。6、（本题16分）证：（1）由X2–X–2E=0，知X(X–E)=2E，故X可逆，且X–1=12(X–E)，又由X2–X–2E=0得，X+2E=X2，而X可逆，故X+2E可逆，且(X+2E)–1=(X–1)=14(X–E)2。（2）由(AB)(AB)*=|AB|E知：(AB)*=(AB)–1|AB|E=B–1A–1|A||B|E=(|B|B–1)(|A|A–1)=B*A*7、（本题8分）证：由条件知ccxcxccxcxccxcxccxcxnnnnnnnnnnnn011101220101110000+++=+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯即11100011221101xxxxxxcccnnnnnn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋮⋮++⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟即cccxxxxxxnnnnnn011122111111000000⋮⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋮⋮⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟++−故f(x)=0。8、（本题16分）证：（1）若R(AB)=R(B)，则ABX=0与BX=0有相同维数的解空间，而BX=0的通解显然是ABX=0的解，故BX=0的基础解系亦为ABX=0的基础解系数，即ABX=0与BX=0同解。若ABX=0与BX=0有完全相同的解，则它们的解空间的维数相同，故R(AB)=R(B)。（2）设A=aaaaaaaaannnnnn111212122212⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟，则此题本质上要证|A|≠0⇔|(A*)T|≠0，而AA*=|A|E，由此可推出结论|A*|=|A|n–1，所以结论显然。9、（本题6分）证：由条件知1AA−′=，1BB−′=，故()()111ABBABAAB−−−′′′===所以AB也是正交阵.10、（本题8分）证：由已知Aξλξ=，有()()()()AAAAξλξλξλλξ===即22Aξλξ=再继续施行上述步骤k-2次，就有kkAξλξ=故kλ是kA的特征值，且ξ也是kA的对应于kλ的特征向量。11、（本题8分）证(反证法)：若12αα+是A的某特征值λ的特征向量，则依定义有1212()()Aααλαα+=+，根据已知111222,AAαλααλα==，得121122AAααλαλα+=+=12()λαα+即有1122()()0λλαλλα−+−=因为12,αα属于不同的特征值，所以12,αα线性无关，于是120,0λλλλ−=−=，也即有12λλλ==，这与题设矛盾，故12αα+不是A的特征向量.12、（本题8分）证：因为A,B,BA+都是n阶正交矩阵，所以11,AABB−−′′==111()()ABABABAB−−−′′′+=+=+=+。13、（本题8分）证：设1111nnnnaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠…⋮⋱⋮⋯，因111111aaAaa⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⋮⋮⋮，故aλ=是A的一个特征值。对应于aλ=的特征向量为111⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋮。14、（本题8分）证：由A是正交矩阵,知12=A,TAA=−1，因为()()()EAAAAAAAAATT===−−−∗∗1211，所以∗A为正交矩阵。15、（本题8分）证：设二次型()AXXxxxfTn=⋯,,21的矩阵A的k阶顺序主子式为kA，则⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=121211212111212121121121212121211212121211⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯kAk021212121000002102121211211+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=−kkkkk⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯，即A的所有各阶顺序主子式都大于零，A为正定矩阵，从而f为正定二次型。16、（本题8分）证：设有Pllllrr∈+121,,，⋯，使()()()οββαβαβα=++++++++12211rrrllll⋯，即olllllllrrrr=+++++++++βααα)(1212211⋯⋯，上式两边左乘A，注意到riAi,,2,10⋯==，α，得oAllllrr=+++++β)(121⋯又因oA≠β，得0121=+++++rrllll⋯，代入()∗式得olllrr=+++ααα⋯2211而rααα,,,21⋯是基础解系，即是线性无关的向量组，所以有，，，00,021===rlll⋯从而有0(211=+++−=+）rrllll⋯，故ββαβαβα，，，，+++r⋯21线性无关。17、（本题8分）证：将n阶单位矩阵第i行与第j行交换后所得矩阵记为ijE，则ijijEE=−1，于是AEBij=,因为0≠=AEBIJ，所以B可逆。()ijijijEEAAAEAAB===−−−−1111。18、（本题8分）证：记矩阵()nAααα⋯,,21=，则()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nTnTnTnnTTTnTTTnTnTTTAAαααααααααααααααααααααααα⋯⋮⋮⋮⋯⋯⋯⋮2122212121112121,,由于DAAAAATT===2，从而得nααα,,,21⋯线性无关0002≠⇔≠⇔≠⇔DAA。19、（本题8分）证：因为AAT=，故()EAEAEATT333+=+=+，从而()()()EEAAEAEAEAT=++=+=++9633322所以EA3+是正交矩阵。20、（本题8分）证：设有Pllll∈4321,,，，使ollll=+++44332211αααα，两边与1α作内积得()()0,,212111=+ααααll即()()0,0,22111122111=+⇒=+ααααααlllli，同理可得()0,221122=+αααlll，从而得()ollllllll=+⇒=+⇒=++2211222112211221100,αααααααα因为21,αα线性无关，所以有0,021==ll，同理可得0,043==ll，故4321αααα，，，线性无关。