弹性力学徐芝纶版-第二章ppt

第一节平面应力问题和平面应变问题第二节平衡微分方程第三节几何方程刚体位移第四节物理方程第六节边界条件第五节平面问题中一点的应力状态第二章平面应力问题和平面应变问题第七节圣维南原理及其应用第八节按位移求解平面问题第九节按应力求解平面问题相容方程第十节常应力情况下的简化应力函数第二章平面应力问题和平面应变问题弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。§2-1平面应力问题和平面应变问题zyxf,,yxf,平面应力任何弹性体都是三维物体，所以任何一个弹性力学问题都是空间问题。弹性力学空间问题，物体所占区域中每一点处可以定义3个位移分量、6个应变分量、6个应力分量,共15个未知量，都是的函数。第二章平面应力问题和平面应变问题（4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。（3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；条件是：第一种：平面应力问题(Planestressproblem)平面应力（1）等厚度的薄板；坐标系第二章平面应力问题和平面应变问题简化为平面应力问题：故只有平面应力存在。0,,2δzzyzxzττσ(在V中),0,,zyzxzττσ由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：平面应力（1）两板面上无面力和约束作用，故xyyxσσ,,第二章平面应力问题和平面应变问题所以归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力存在；b.且仅为。yxf,平面应力xyyxσσ,,（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力仅为。yxf,xyyxσσ,,第二章平面应力问题和平面应变问题如：弧形闸门闸墩计算简图：平面应力深梁计算简图：Fyfyf第二章平面应力问题和平面应变问题因表面无任何面力，0,0yxff即：.0,,zyzxzσ平面应力.0,,zyzxzσAB例题1：试分析AB薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故表面上，有：在近表面很薄一层内：第二章平面应力问题和平面应变问题（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；平面应变第二种：平面应变问题(Planestrainproblem)条件是：（1）很长的常截面柱体；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。坐标系zxy第二章平面应力问题和平面应变问题故任何z面（截面）均为对称面。（平面位移问题）只有;,0u,vw（平面应变问题）只有.,,,0,0,,00xyyxzyzxzyzxzττεw平面应变（1）截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束平行xy面，柱体非常长；简化为平面应变问题：第二章平面应力问题和平面应变问题（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿向均不变，故应力、应变和位移均为。yxf,z平面应变第二章平面应力问题和平面应变问题所以归纳为平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量存在；b.且仅为。平面应变yxf,xyyxγεε,,第二章平面应力问题和平面应变问题例如：平面应变隧道挡土墙oyxyox第二章平面应力问题和平面应变问题且仅为。故只有，本题中：0,,0zyzxz平面应变yxf,xyyxγεε,,oxyz例题2：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。.0,zyzx第二章平面应力问题和平面应变问题§2－2平衡微分方程定义平衡微分方程(Differentialequationsofequilibrium)--表示物体内任一点的微分体的平衡条件。第二章平面应力问题和平面应变问题在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体,作用于微分体上的力：体力：。1ddyxyxff,定义应力：作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量。第二章平面应力问题和平面应变问题应用的基本假定：连续性假定─应力用连续函数来表示。小变形假定─用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。第二章平面应力问题和平面应变问题列出平衡条件：合力=应力×面积，体力×体积；以正向物理量来表示。平面问题中可列出3个平衡条件。平衡条件第二章平面应力问题和平面应变问题其中一阶微量抵消，并除以得：.01dd1d1)dd(1d1)dd(,0yxfxxyyyσyxxσσFxyxyxyxxxxxyxdd0.(a)yxxxσfxy0yF0.(b)yxyyσfyx，同理可得：平衡条件第二章平面应力问题和平面应变问题,0cM当时，得切应力互等定理,得,d21d21yyxxyxyxxyxy0d,dyx.(c)xyyx平衡条件第二章平面应力问题和平面应变问题⑵适用的条件--连续性，小变形；说明对平衡微分方程的说明：⑴代表A中所有点的平衡条件，因位（x,y）∈A；⑶应力不能直接求出；⑷对两类平面问题的方程相同。0.(a)yxxxσfxy0.(b)yxyyσfyx第二章平面应力问题和平面应变问题理论力学考虑整体的平衡（只决定整体的运动状态）。VVVd说明⑸比较:材料力学考虑有限体的平衡（近似）。弹性力学考虑微分体的平衡（精确）。第二章平面应力问题和平面应变问题当均平衡时，保证，平衡；反之则不然。VV说明Vd所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。第二章平面应力问题和平面应变问题理力（V）材力（）弹力（）bxhVd1dddyxVhVdxdydx第二章平面应力问题和平面应变问题思考题1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件,改为对某一角点的，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？0cM0M第二章平面应力问题和平面应变问题几何方程(Geometricalequations)─表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系。§2－3几何方程刚体位移定义第二章平面应力问题和平面应变问题变形前位置：变形后位置：－－各点的位置如图。通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段,,dyPBdxPA,,,PAB定义,,PAB第二章平面应力问题和平面应变问题32sin,3!cos11,2!tan.应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形。当很小时，假定第二章平面应力问题和平面应变问题().xuudxuuxdxx.yvy假定由位移求形变：PA线应变PA转角PB线应变PB转角同理，tan.vdxvxdxxyu第二章平面应力问题和平面应变问题⑴适用于区域内任何点，因为（x,y）A；对几何方程的说明：.,,yuxvyvxuxyyx所以平面问题的几何方程为：说明⑶适用条件：a.连续性；b.小变形。⑵应用小变形假定，略去了高阶小量线性的几何方程；第二章平面应力问题和平面应变问题⑷几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。⑸形变和位移之间的关系：位移确定形变完全确定：从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。说明从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。第二章平面应力问题和平面应变问题从物理概念看，，确定，物体还可作刚体位移。从数学推导看，，确定，求位移是积分运算，出现待定函数。形变确定，位移不完全确定：形变与位移的关系第二章平面应力问题和平面应变问题由,两边对y积分，由,两边对x积分，例：若,求位移：0xyyx0,(a)xyvuxy形变与位移的关系0xxu0yyv).(0),(1yfyxu).(0),(2xfyxv代入第三式第二章平面应力问题和平面应变问题分开变量，12d()d()().(b)ddfyfxyx因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数，由此解出。可得形变与位移的关系21,ff,.(c)oouuyvvx第二章平面应力问题和平面应变问题物理意义：00,vu形变与位移的关系－－表示物体绕原点的刚体转动。－－表示x，y向的刚体平移，第二章平面应力问题和平面应变问题结论形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移(Rigid-bodydisplacements)则未定。－－须通过边界上的约束条件来确定。,,oovu,,oovu第二章平面应力问题和平面应变问题思考题1.试证明微分体绕z轴的平均转动分量是).(21yuxv,,,cbaxyyx2.当应变为常量时，试求出对应的位移分量。第二章平面应力问题和平面应变问题物理方程(Physicalequations)－－表示（微分体上）应力和形变之间的物理关系。11(),,11(),,11(),.xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxyσσσEGσσσEGσσσEG定义即为广义胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)：§2－4物理方程第二章平面应力问题和平面应变问题胡克(1635～1703)英国物理学家。胡克在1653年进入牛津大学，1665年成为格雷沙姆学院教授。胡克建立了弹性体变形与力成正比的定律。胡克对万有引力定律的发现起了重要作用。1679年他写信给牛顿，信中认为天体的运动是由于有中心引力拉住的结果，而且认为引力与距离平方应成反比。牛顿对此没有复信，但接受了胡克的观点。1686年牛顿将载有万有引力定律的《自然哲学的数学原理》卷一的稿件送给英国皇家学会时，胡克希望牛顿在序言中能对他的劳动成果“提一下”，但遭到牛顿的断然拒绝。这是后来胡克控告牛顿剽窃他的成果的来由。胡克其他科学贡献很多。他用显微镜观察软木结构中的“微孔”或“细胞(cell)”（1665年发表），这是生物学中“细胞”一词的起源。他在1672年发现光的衍射现象，并采用光波理论解释这种现象。1666年伦敦大火以后，他在重建城市中设计了一些重要建筑物。第二章平面应力问题和平面应变问题泊松（Poisson,Simeon-Denis）（1781-1840），法国数学家、物理学家和力学家。泊松一生从事数学研究和教学，他的主要工作是将数学应用于力学和物理学中。在固体力学中，泊松以材料的横向变形系数，即泊松比而知名。泊松在数学方面贡献很多。最突出的是泊松分布。他还研究过定积分、傅里叶级数、数学物理方程等。除泊松分布外，还有许多数学名词是以他名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、泊松方程、泊松定理等。在数学物理方面：泊松解决了许多热传导方面的问题。他解决了许多静电学和静磁学的问题；奠定了偏向理论的基础；研究了膛外弹道学和水力学的问题；提出了弹性理论方程的一般积分法.他还用变分法解决过弹性理论的问题.在引力学中，他发表了《关于球体引力》和《关于引力理论方程》的论文.第二章平面应力问题和平面应变问题物理方程的说明：说明⑷正应力只与线应变有关；切应力只与切应变有关。⑶是线性的代数方程；⑵是总结实验规律得出的；⑴适用条件─理想弹性体；第二章平面应力问题和平面应变问题物理方程的两种形式：－－应变用应力表示，用于按应力求解；－－应力用应变（再用位移表示）表示，用于按位移求解。)(σfε)(εfσ说明第二章平面应力问题和平面应变问题平面应力问题的物理方程：代入，得：在z方向0zyzxzσ11(),(),(a)2(1).xxyyyxxyxyσσσσEEE).(,0yxzzσσEεσ平面应力第二章平面应力问题和平面应变问题代入得,0zyzxz221(),11(),(b)12(1).xxyyyxxyxyEEE