排列与组合21种模型

排列与组合21种模型复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事有n类办法，在1类办法中有𝑚1中不同的方法在2类办法中有𝑚2种不同的方法，在n类中有𝑚𝑛中不同的方法，那么完成这件事共有𝑁=𝑚1+𝑚2…+𝑚𝑛种不同的方法。2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，作第1步有𝑚1种不同的方法，做第2步有𝑚2种不同的方法，做第n步有m𝑛种不同的方法，那么完成这件事共有：𝑁=𝑚1x𝑚2x…𝑚𝑛种不同的方法。3分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清楚要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素。4.解决排列组合综合性问题，往往类步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有𝑐31然后排首位共有𝐶41最后排其它位置共有𝐴43由分步计数原理得𝐶31𝐶41𝐴43=288𝐶41𝑐31𝐴43位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。三.不相邻问题插空策略解:分两步进行:第一步排2个相声和3个独唱共有种;55A相相独独独5456AA例3：一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？第二步将4舞蹈插入第一步排好的5个元素中间及首尾两个空位共有𝐴64种不同的方法。由分步计数原理，节目的不同顺序共有种某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）练习题元素相离问题，可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两端.2630A四.定序问题缩倍、空位、插入等策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法？解:(缩倍法)对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：𝐴77𝐴33（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有种坐法，则共有种方法.47A147A思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余四人依次插入共有________________种法。4*5*6*7=840定序问题可以用“缩倍法”，还可转化为“占位插空模型”来处理。练习题10人身高各不相同,排成前后两排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有种分法.7把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法67允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种nm某8层大楼一楼电梯上来8名乘客,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法（）87练习题六.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有_𝐴42___种再排后4个位置上的,特殊元素有_𝐴41____种，,其余的5人在5个位置上任意排列有_𝐴55___种,则共有___𝐴42𝐴41𝐴55______种前排后排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.练习题有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是_346_____．1234567891011七.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有_____25C44A解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习题一个班有6名战士,其中正副班长各1人,现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正、副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________种。134244192CCA八.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中在1,５两个奇数之间只有两个偶数,这样的五位数有多少个？解：把１,２,４,5当作一个小集团与３排队共有____种排法;再排小集团内部共有_______种排法，由分步计数原理共有_______种排法.22A2222AA2222AA22A35241小集团１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_______种。255255AAA254254AAA小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。九.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，要分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插块隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法，故共有_________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C练习题1.10个相同的球装入5个盒中,每盒至少一球，有多少种装法？2.x+y+z+w=100求这个方程的自然数解的组数3103C49C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC十.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？（1998年奥赛题.）解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数:含有3个偶数的取法有____;只含有1个偶数的取法有_____,和为偶数的取法共________再淘汰和小于10的偶数共_______个,符合条件的取法共有_______________种.35C1255CC90130150170240260351251231341255CC35C+312555951CCC我们班有43位同学,从中任抽5人,其中正、副班长，团支部书记，至少有一人在内的抽法有多少种?练习题有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.551423324340340340340304590CCCCCCCC十一.平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本，共有多少不同的分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？544138422CCCA２.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为:2226422290ACCA平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以平均分组后一定要除以(n为均分的组数)，以避免重复计数。nnA十二.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员。现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究：只会唱的5人中没有人选上唱歌，共有____种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌，共有________种,只会唱的5人中有2人选上唱歌人员有____种，由分类计数原理，共有____________________种。2233CC112534CCC2255CC2233CC112534CCC2255CC++研究10名演员本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准;*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准;*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准.都可以得到正确结果!解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定,要贯穿于解题过程的始终。1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生,又有女生，则不同的选法共有_______练习题2.3成人2小孩乘船游玩,有三艘船,若1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,则这3人共有多少种乘船方法?443122137434343434CCCCCCCC121111212323232327CCCCCCAC3.由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？分析数字特征：6的倍数既是2的倍数又是3的倍数。其中3的倍数又满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”的特征。把6分成4组，（3，3），（6），（1，5），（2，4），每组的数字和都是3的倍数。因此可分成两类讨论；第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从2，4，6中任选一个作个位数字有，然后其余四个数在其他数位上全排列有，所以第二类：由1，2，3，4，5作数码。依上法有13A44A14341NAA14242NAA12=+=120()NN故个N4.（天津卷16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．432取出的卡片数字为4，4，1，1时；有A44种不同排法；取出的卡