微积分证明不等式方法

用微积分理论证明不等式的方法江苏省扬中高级中学卞国文212200高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数)(xfy在点0x的某个邻域内有定义，若极限xyxxxxxxfxflimlim000)()(0存在，则称函数)(xf在0x可导，称这极限为函数)(xfy在点0x的导数，记作)(0xfy．2．证明方法：(1)找出0x，使得)(0xfy恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究．3．例例1:设函数nxaxaxaxfnsin2sinsin)(21，其中naaa,,21都为实数，n为正整数，已知对于一切实数x，有xxfsin)(，试证：1221nnaaa．分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：)0(221fnaaan．于是问题可以转化为证明1)0(f．证明：因nxnaxaxaxfncos2cos2cos)(21．则nnaaaf212)0(．利用导数的定义得：xxfxxfxfxffxxx)()(lim0)0()()0(limlim000．由于xxfsin)(．所以1sin)0(lim0xxfx．即1221nnaaa．4.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．二．用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一：若函数)(xf在),(ba可导，则)(xf在),(ba内递增（递减）的充要条件是：),(),0)((0)(baxxfxf.定理二：设函数)(xf在],[ba连续，在),(ba内可导，如果在),(ba内0)(xf（或0)(xf），那么)(xf在],[ba上严格单调增加（或严格单调减少）.定理三：设函数)(xf在),(ba内可导，若0)(xf（或0)(xf），则)(xf在),(ba内严格递增（或严格递减）.上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.2.证明方法（1）构造辅助函数)(xf，取定闭区间],[ba；△如何构造辅助函数？①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例3）；③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）.(2)研究)(xf在],[ba上的单调性，从而证明不等式.3.例例2：证明不等式：)0(1)1ln(122xxxxx.分析：利用差式构造辅助函数),0[,1)1ln(1)(22xxxxxxf，则将要证明的结论转化为要证)0(,0)(xxf，而0)0(f，因而只要证明)0(),0()(xfxf.证明：令),0[,1)1ln(1)(22xxxxxxf，易知)(xf在),0[上连续，且有),0(,0)1ln()(2xxxxf，由定理二可知)(xf在),0[上严格单调增加，所以由单调性定义可知)0(,0)0()(xfxf，即01)1ln(122xxxx.因此)0(1)1ln(122xxxxx.例3：求证：bbaababa111.分析：不等式两边有相同的“形式”:AA1：试构造辅助函数)0(,1)(xxxxf.利用定理二与在)(xf在),0[上的单调性证明不等式.证明：设辅助函数)0(,1)(xxxxf.易知)(xf在),0[上连续，且有,0)1(1)(2xxf)0(x.则由定理二可知)(xf在),0[上严格单调增加.由baba0，有)()(bafbaf，得到bbaababbaababababa111111，所以原不等式成立.例4：证明：当0x时，2111)1(xxex.分析：此不等式为幂指数函数不等式，若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数，更很难判断其在),0(上的单调性，可对不等式两边分别取对数得到21)1ln()11(xxx，化简得22)1ln()1(2xxxx，在此基础上可利用差式构造辅助函数：)0)(1ln()1(22)(2xxxxxxf，因0)0(f，因而只要证明)0(),0()(xfxf即可.证明：分别对不等式得两边取对数，有21)1ln()11(xxx，化简有：22)1ln()1(2xxxx.设辅助函数)0(),1ln()1(22)(2xxxxxxf，)1ln(22)(xxxf，易知)(xf在),0[上连续，)(xf也在),0[上连续，因)0(,012)(xxxxf，根据定理二，得)(xf在),0[上严格单调增加，所以)0(,0)0()(xfxf.又由)(xf在),0[上连续，且0)(xf，根据定理二可知)(xf在),0[上严格单调增加，所以)0(,0)0()(xfxf，即0)1ln()1(222xxxx，因此)1ln()1(222xxxx，即2111)1(xxex.4.适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数)(xf应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处)(xf的值为0，然后通过在开区间内)(xf的符号来判断)(xf在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1．证明方法根据－极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件）设)(xf在0x连续，在),(00x内可导，（i）若当),(00xxx时，0)(xf,当),(00xxx时，0)(xf,则)(xf在0x取得极大值;(ii)若当),(00xxx时，0)(xf,当),(00xxx时，0)(xf,则)(xf在0x取得极小值.定理五（极值的第二充分条件）设)(xf在的某领域),(0x内一阶可导，在0xx处二阶可导，且0)(0xf，0)(0xf,(i)若0)(0xf，则)(xf在0x取得极大值；(ii)若0)(0xf，则)(xf在0x取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.2.证明方法（1）构造辅助函数)(xf，并取定区间.△如何构造辅助函数？①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数（见例5）；②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数（见例6）；③当不等式形如axg)(（或axg)(）（a为常数）时，可设)(xg为辅助函数（见例7）.(2)求出)(xf在所设区间上的极值与最大、最小值.△极值与最大、最小值的求法①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.②最大、最小值的求法：（1）闭区间],[ba上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点ba,处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间),(ba内可导函数的最大值、最小值的求法：若)(xf在),(ba内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.3.例例5：证明：当0x时有455xx.分析：利用差式构造辅助函数)0(,45)(5xxxxf，这与前面利用函数单调性定义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同，但由于)(xf在),0(上不是单调函数，（因对任意0,21xx，且)(5)()()(,2152512121xxxxxfxfxx，不能判断)(xf的符号）.所以不能用可导函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之.函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之．证明：构造辅助函数)0(,45)(5xxxxf，则有),1)(1)(1(5)1)(1(555)(2224xxxxxxxf令0)(xf，解得1x，其中只有1x在区间),0(内，由)1(45lim)(lim511fxxxfxx，有)(xf在1x点连续．因当10x时，0)(xf，则)(xf在)1,0(上为减函数；当1x时，0)(xf，则)(xf在),1(上为增函数；由定理四可知，)(xf在1x处取得极小值，即0)1(f为区间),0(上的最小值，所以当0x时，有0)1()(fxf．故),0(0455xxx即)0(455xxx．例6：设0,0ba，则bbbaba)()11(1．分析：此不等式两边含有相同的“形式”：BBA)(，可将不等式变形为bbbbbbaa11)1()1(，可构造辅助函数)0()1()(1xxxxfbb．证明：将不等式变形为bbbbbbaa11)1()1(，构造辅助函数)0()1()(1xxxxfbb，则有bbbxbxxxxf21)()1()(，令0)(xf，则有bx．当bx0时，0)(xf，所以)(xf单调递减；当bx时，0)(xf，则)(xf单调递增．因此，由定理四可知)(xf在bx时取得极小值，即最小值．所以当),0(a，有bbaaaf1)1()(bbbbbf1)1()(，即)0,(,)()11(1babababb．例7：证明：若1p，则对于]1,0[中的任意x有：121)1(1pppxx．分析：显然设辅助函数)10(,)1()(xxxxfpp，若设121)(pxg，由)10(0)1(211)0()0()0(1xFgfFp，故很难用函数单调性的定义去证明．考虑到1)1()0(ff，不难看到不等式1)1(ppxx，即为)(xf与其端点1,0xx处的函数值的大小比较问题，因而可想到用最值方法试之．证明：设辅助函数为)10(,)1()(xxxxfpp，则10x时，有：],)1([)1()(1111ppppxxpxppxxf令0)(xf得11)1(ppxx,解之得稳定点21x,因函数)(xf在闭区间[0,1]上连续,因而在[0,1]上有最大值和最小值，已知121)211()21()21(,1)1()0(pppfff.有,1}21,1{max)}({max1]1,0[]1,0[pxxxf)}({min]1,0[xfx,21}21,1{min11]1,0[ppx因此对一切1],1,0[px时，有,