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1《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)高等教育出版社2习题1.21.21.21.21求下列可分离变量微分方程的通解：(1)xdxydy=解：积分，得1222121cxy+=即cyx=−22(2)yydxdyln=解：1,0==yy为特解，当1,0≠≠yy时，dxyydy=ln，积分，得0ln,lnln11≠=±=+=cceeeycxyxxc，即xceey=(3)yxedxdy−=解：变形得dxedyexy=积分，得ceexy=−(4)0cottan=−xdyydx解：变形得xydxdycottan=，0=y为特解，当0≠y时，dxxxdyyycossinsincos=.积分，得11cossinln,coslnsinlncxycxy=+−=,即0,cossin1≠=±=ccexyc2．求下列方程满足给定初值条件的解：(1)1)0(),1(=−=yyydxdy解：1,0==yy为特解，当1,0≠≠yy时，dxdyyy=−−)111(，积分，得0,1,1ln11≠=±=−+=−cceeeyycxyyxxc将1)0(=y代入，得0=c，即1=y为所求的解。(2)1)0(,02)1(22==+′−yxyyx解：0,1222=−−=yxxydxdy为特解，当0≠y时，dxxxydy1222−−=，积分，得cxy+−−=−1ln123将1)0(=y代入，得1−=c，即11ln12+−=xy为所求的解。(3)0)2(,332==′yyy解：0=y为特解，当0≠y时，dxydy=323，积分，得331)(,cxycxy+=+=将0)2(=y代入，得2−=c，即3)2(−=xy和0=y均为所求的解。(4)1)1(,0)()(2222−==+−+ydyyxxdxxyy解：0,0==yx为特解，当0,0≠≠yx时，01122=+−+dyyydxxx，积分，得0,,ln1ln1111111≠=±==−++−−−cceeeyxcyyxxyxyxc将1)1(−=y代入，得2−−=ec，即yxeeyx112−−−=为所求的解。4．求解方程01122=−+−dyxydxyx解：)11(1),11(1≤≤−±=≤≤−±=xyyx为特解，当1,1±≠±≠yx时，01122=−+−dyyydxxx积分，得)0(1122=−+−ccyx6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x轴可围成一个等腰三角形(以x轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为)(xyy=对其上任一点),(yx的切线方程：)('xXyyY−=−于x轴上的截距为'yyxa−=由题意建立方程：0'−=−−xxyyx即2)1(,'=−=yxyy求得方程的通解为0,≠=cexyc再由ce=2得c=ln2,得所求曲线为4为2=xy7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如果在3小时时的细菌数为得410个，在5小时时的细菌数为得4104×个，那么在开始时有多少个细菌？解：设t时刻的细菌数为q(t),由题意建立微分方程0=kkqdtdq求解方程得ktceq=再设t=0时，细菌数为0q,求得方程的解为kteqq0=（1）由02)4(qq=即0402qeqk=得42ln=k042ln1201208)12(qeqeqqk===（2）由条件450430104)5(,10)3(×====kkeqqeqq比较两式得24ln=k，再由4024ln3030108)3(====qeqeqqk得301025.1×=q习题1.31.31.31.31解下列方程：(2)0)2(22=+−dyxdxxyy解：方程改写为2)()(2xyxydxdy−=令xyu=，有22uudxduxu−=+整理为)1,0()111(≠=−−uxdxduuu积分，得xcuu1ln1ln=−即111−=xcxcu代回变量，得通解0,)(==−ycyxyx也是方程的解(4)xyxyyxtan=−′解：方程改写为xyxydxdytan=−令xyu=，有uuudxduxcossintan==即)0(sincot≠=uxdxudu积分，得cxu=sin代回变量，得通解cxxy=sin5(5)xyxyxyyx++=−′ln)(解：方程改写为xyxxyxydxdy++=−ln)1(令xyu=，有)1ln()1(uudxdux++=当1,0−≠≠uu时xdxuudu=++)1ln()1(积分，得cxu=+)1ln(代回变量，得通解cxxy=+)1ln((6)yyxyx+−=′22解：方程改写为xyxydxdy+−=2)(1令xyu=，有21udxdux−=分离变量)11(12−=−uxdxudu积分，得cxulnarcsin=代回变量，得通解xycxxy±==,lnarcsin也是方程的解2解下列方程：(1)0)3()642(=−+++−dyyxdxyx解：方程改写为3624−+−−=yxxydxdy令⎩⎨⎧=−+=+−03042βαβα，解得2,1==βα作变换2,1+=+=ηζyx有ζηζηζη+−=24dd再令ζη=u上方程可化为uudduu+−=+124ζζ整理为)2,1()2)(1(1≠−=−−+udduuuuζζ积分，得cuuu=−−−ζ2)12)(2(6代回变量，得通解1,)1()2(23+=−−=−xyxycxy也是方程的解(2)0)324()12(=−+−++dyyxdxyx解：方程改写为32412−+++=yxyxdxdy令yxu+=2，有3255−−=uudxdu分离变量)1(5132≠=−−udxduuu积分，得151ln2cxuu+=−−代回变量，得通解xyceyx−=−+212(4)2)12(2−+−=′yxyy解：令2,1−=+=yvxu则原方程变为2)(2vuvdudv+=再令uvz=，则方程化为2)1(2zzdudzuz+=+分离变量)0()1()1(22≠−=++zududzzzz积分，得czzulnarctan2ln+−=代回变量，得通解12arctan22+−−=−xycey3解方程0)823()732(2222=−+−−+ydyyxxdxyx解：方程改写为823732222222−+−+=yxyxxdxydy即823732222222−+−+=yxyxdxdy令vyux==22,则823732−+−+=vuvududv再令⎩⎨⎧=−+=−+08230732βαβα解得1,2==βα作变换1,2+=+=ηξvu，则方程化为ηξηξξη2332++=dd再作变换ξηω=，则方程化为)1()1(2232±≠=−+ωξξωωωdd7积分，得45)1(1ξωωc=−+代回原变量，得原方程的通解为)3()1(22522−+=−−yxcyx习题1.1.1.1.44441解下列方程.(1)24dyxyxdx+=解：原方程对应的齐次方程20dyxydx+=的通解为2xyCe−=̃.由常数变易法得原方程的一个特解为2y=.则原方程的通解为$y=Ce^{-x^2}+2$.(2)21'2(2)2yyxx−=−−解：原方程对应的齐次方程1'02yyx−=−的通解为(2)yCx=−̃.由常数变易法得原方程的一个特解为3(2)yx=−.则原方程的通解为2(2)(4)yxxxC=−−+.(3)32ddρρθ+=解：原方程对应的齐次方程30ddρρθ+=的通解为3Ceθρ−=̃.由常数变易法得原方程的一个特解为23ρ=.则原方程的通解为323Ceθρ−=+,或者332Ceθρ−=+.2求曲线,使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.解：设所求曲线为()yyx=,则它在曲线上任一点的斜率'ky=.过点(,)xy的方程为'()YyyZx−=−.依题意得'yxyx−=,即'1yyx=−.它对应的齐次方程'yyx=的通解为yCx=̃.它的一个特解为ln||yxx=.因此,所求曲线为ln||yxxCx=+.3解下列伯努利方程8(2)4'20yxyxy++=解：原方程可化为43'2yyxyx−−+=−.令$z=y^{-3}$,则有63dzxzxdx−=.它对应的齐次线性方程为6dzxzdx=.当0z=时,有30y−=,得0y=;当0z≠时,有6dzxdxz=,得23xzCe=.令23()xzCxe=为方程63dzxzxdx−=的一个解,则有23'()3xCxxe−=.两边积分得2311()2xCxeC−=+,带回得原方程的通解为2312xzCe=−,即23312xyCe−=−.(4)2(cossin)dyyyxxdx+=−解：方程两边同乘以2y−−得21sincosdyyyxxdx−−−−=−.令1zy−=,则2dzdyydxdx−=.于是sincosdzzxxdx−=−.该方程对应的齐次方程0dzzdx−=的通解为xzCe=̃.由常数变易法得一个特解为sinzx=−.则它的通解为sinxzCex=−.于是原方程的通解为1sinxyCex−=−.另外，0y=也是原方程的解.6.设()yx在[0,)+∞上连续可微,且lim['()()]0xyxyx→+∞+=,证明lim()0xyx→+∞=.证明：设'()()()yxyxfx+=,则lim()0xfx→+∞=,0()()xsxxCfsedsyxe+=∫0ε∀,对充分大的1x,当1xx时,有|()|fxε.故90101xxxxx|||()|()||+|()|e(x+)xsxxssCfsedsyxeCfsedsedsεε+≤≤→→∞∫∫∫＋由ε的任意性有lim()0xyx→+∞=.习题1.1.1.1.55551(1)222()0xydxxydy+−=解：因为2MNxyx∂∂==∂∂,所以方程是全微分方程.于是方程的通解为233xyyC−=.(2)(2)0yyedxyxedy−−−+=解：yMNeyx−∂∂=−=∂∂,所以方程是全微分方程.于是方程的通解为2yxeyC−−=.2.求下列方程的积分因子和积分.(1)22()0xyxdxxydy+++=解：由于2Myy∂=∂,Nyx∂=∂,所以方程不是全微分方程.而11()MNNyxx∂∂−=∂∂只与x有关,故可得积分因子为()xxµ=.以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：3222()0xxyxdxxydy+++=.则原方程的的通解为4223364xxyxC++=.(2)432422(22)(3)0yyxyexyydxxyexyxdy+++−−=解：由于3428261yyMxyexyexyy∂=+++∂,42223yNxyexyx∂=−−∂,所以方程不是全微分方程.而14()MNMyxy∂∂−=−−∂∂只与y有关,故可得积分因子为41()yyµ=.以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：1022324213(2)()0yyxxxxedxxedyyyyy+++−−=.则原方程的的通解为223yxxxeCyy++=.(3)443()0xydxxydy+−=解：因为34Myy∂=∂,3Nyx∂=−∂,所以方程不是全微分方程.而15()MNNyxx∂∂−=−∂∂只与x有关,用积分因子5x−乘以原方程两端，得全微分方程：15443()0xxydxxydy−−−+−=.于是原方程的通解为444ln.xxyC−−=(4)3222432(2422)2()0xyxyxyxyydxyxyxdy+++++−+=解：由于32344442Mxyxxyxyy∂=++++∂,42Nxyx∂=+∂,所以方程不是全微分方程.而1()2MNxNyx∂∂−=∂∂只与x有关,故积分因子为2()xxeµ=.用积分因子乘以原方程两端，得全微分方程：223222432(2422)2()0xxxyxyxyxyyedxyxyxedy+++++−+=.于是原方程的通解为2224(24)xxyxyyeC++=.习题1.1.1.1.66661.求解下列方程.(1)22'0yy−=解：因为(')(')0yyyy+−=,所以'yy=−或'yy=.由'yy=−得xyCe−=;由'yy