中考压轴题--圆含答案

中考压轴题（一）--------与圆有关压轴题1.如图，在M中，AB所对的圆心角为120，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系．（1）求圆心M的坐标；（2）求经过ABC，，三点的抛物线的解析式；（3）点D是弦AB所对的优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积；（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使PAB△和ABC△相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．[解]（1）如图（1），连结MAMB，．则120AMB60CMB，30OBM．112OMMB，(01)M，．（2）由ABC，，三点的特殊性与对称性，知经过ABC，，三点的抛物线的解析式为2yaxc．1OCMCMO，223OBMBOM，(01)(30)CB，，，．113ca，2113yx．（3）ABCABDACBDSSS△△四边形，又ABCS△与AB均为定值，当ABD△边AB上的高最大时，ABDS△最大，此时点D为M与y轴的交点，如图1．211143cm222ABCABDACBDSSSABOCABODABCD△△四边形···．（4）方法1：如图2，ABC△为等腰三角形，303ABABCBC，，ABCPAB△∽△等价于302336PABPBABPAPB，，．设()Pxy，且0x，则cos3033323xPAAO·，sin303yPA·．又(233)P，的坐标满足2113yx，在抛物线2113yx上，存在点(233)P，，使ABCPAB△∽△．由抛物线的对称性，知点(233)，也符合题意．存在点P，它的坐标为(233)，或(233)，．方法2：如图（3），当ABCPAB△∽△时，30PABBAC，又由（1）知30MAB，yxAMOBCyxBCAMP图2OyxAMOBCD图1点P在直线AM上．设直线AM的解析式为ykxb，将(30)(01)AM，，，代入，解得331.kb，直线AM的解析式为313yx．解方程组2313113yxyx，得(233)P，．又3tan3233PBx，60PBx．30P，ABCPAB△∽△．在抛物线2113yx上，存在点(233)P，，使ABCPAB△∽△．由抛物线的对称性，知点(233)，也符合题意．存在点P，它的坐标为(233)，或(233)，．方法3：如图3，ABC△为等腰三角形，且3ABBC，设()Pxy，则图3ABCPAB△∽△等价于23PBAB，36PAAB．当0x时，得2222(3)23(3)6.xyxy，解得(233)P，．又(233)P，的坐标满足2113yx，在抛物线2113yx上，存在点(233)P，，使ABCPAB△∽△．由抛物线的对称性，知点(233)，也符合题意．存在点P，它的坐标为(233)，或(233)，．[点评]本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题，很有可能会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。2.（06湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线2323333yxx的图象与x轴分别交于AB，两点，与y轴交于C点，M经过原点O及点AC，，点D是劣弧OA上一动点（D点与AO，不重合）．（1）求抛物线的顶点E的坐标；（2）求M的面积；（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2FG，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由．[解]（1）抛物线2323333yxx23321333xxyECMAFGDOxB2343133xE的坐标为4313，（2）连AC；M过90AOCAOC，，，∠AC为O的直径．而33OAOC，32ACr23MSr（3）当点D运动到OA的中点时，直线GA与M相切理由：在RtACO△中，33OAOC，3tan33ACO∠．6030ACOCAO∠，∠点D是OA的中点ADDO30ACGDCO∠∠tan301OFOC，60CFO∠在GAF△中，22AFFG，60AFGCFO∠∠AGF△为等边三角形60GAF∠90CAGGAFCAO∠∠∠又AC为直径，当D为OA的中点时，GA为M的切线[点评]本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第3小问时可以先自己作图来确定D点的位置。3．（06湖南永州卷）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于MN，两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线CEAD，垂足为E，交大圆于FH，两点．（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由．（2）求证：FCCHAEAO．（3）若FCCH，是方程22540xx的两根（CHCF），求图中阴影部分图形的周长．[解]（1）相等．连结OC，则COAB，故ACBC．（2）由ACHFCB△∽△，得2ACCBFCCHAC，又由ACEAOC△∽△，得2ACAEAO．FCCHAEAO．（3）解方程得：51CH，51CF，5(51)1CE，242ACAC，，在RtACE△中，1sin2CEAAC，30A∠，60120AOCCON，∠∠．在ACO△中，32tan2333COACA，43sin603ACAO，432323333AMAOOM，弧CN长143239，2323222333ANAMOC，yECMAFGDOxBABCDEONHMF阴影部分周长432239ACANCN．[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。4.（06辽宁卷）如图，已知2(10)(0)2AE，，，，以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x轴于另一点B，过点B作BFAE∥交A于点F，直线FE交x轴于点C．（1）求证：直线FC是A的切线；（2）求点C的坐标及直线FC的解析式；（3）有一个半径与A的半径相等，且圆心在x轴上运动的P．若P与直线FC相交于MN，两点，是否存在这样的点P，使PMN△是直角三角形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．[解]（1）证明：连结AFAEBF∥1342，又ABAF3412又AOAFAEAE，AOEAFE△≌△90AFEAOEFC是O的切线．（2）方法①由（1）知22EFOEAEBF∥，ACCEABEF1122OCCE，2222CECO①又222OEOCCE，22222CECO②由①②解得0OC（舍去）或2OC，直线FC经过202E，，(20)C，两点设FC的解析式：ykxb2022kbb解得2422kb直线FC的解析式为2242yx．方法②：CF切A于点F，90AFCEOC又ACFOCE，COECFA△∽△，OECOAFCF22122COCE即222CECO①又222OEOCCE，22222CECO②由①②解得0CO（舍去）或2CO(20)C，（求FC的解析式同上）．方法③AEBF∥，ACCEABEF1122OCCE2222CECO①FC切A于点F，90AFCCOEACEOCE，COECFA△∽△OECOAFCF，22122COCE222CECO②由①②解得：2CO，（求FC的解析式同上）．xyABCOFE（3）存在；当点P在点C左侧时，若90MPN，过点P作PHMN于点H，90MPN，PMPN，2cos452PHPMAFFC，PHAF∥，CPHCAF△∽△PHCPAFCA，2213CP322CP，3222PO，32202P，当点P在点C右侧P时，设90MPN，过点P作PQMN⊥于点Q，则22PQPQPH，可知P与P关于点C中心对称，根据对称性得3222OPOCCP32202P，存在这样的点P，使得PMN△为直角三角形，P点坐标32202，或32202，．[点评]本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第3小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方5.（06辽宁沈阳卷）如图，在平面直角坐标系中，直线313yx分别与x轴，y轴交于点A，点B．（1）以AB为一边在第一象限内作等边ABC△及ABC△的外接圆M（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；（2）若M与x轴的另一个交点为点D，求A，B，C，D四点的坐标；（3）求经过A，B，D三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点P，使ADP△的面积等于ADC△的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．[解]（1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹（2）由直线313yx，求得点A的坐标为30，，点B的坐标为01，在RtAOB△中，3OA，1OB2AB，tan3OAOBAOB∠60OBA∠9030OABOBA∠∠ABC△是等边三角形2CAAB，60CAB∠xyABCOPFMEHNQPNM123490CADCABOAB∠∠∠点C的坐标为32，，连结BMABC△是等边三角形1302MBAABC∠∠90OBMOBAMBA∠∠∠OBBM⊥直线OB是M的切线2OBODOA213OD33OD点D的坐标为303，（3）设经过A，B，D三点的抛物线的解析式是333yaxx把01B，代入上式得1a抛物线的解析式是24313yxx存在点P，使ADP△的面积等于ADC△的面积点P的坐标分别为1232123P，，2232123P，．[点评]本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。6.已知：抛物线2:(1)(2)Myxmxm与x轴相交于12(0)(0)AxBx，，，两点，且12xx．（Ⅰ）若120xx，且m为正整数，求抛物线M的解析式；（Ⅱ）若1211xx，，求m的取值范围；（Ⅲ）试判断是否存在m，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点(02)C，，若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由；（Ⅳ）若直线:lykxb过点(07)F，，与（Ⅰ）中的抛物线M相交于PQ，两点，且使12PFFQ，求直线l的解析式．[解]（Ⅰ）解法一：由题意得，1220xxm．解得，2m．m为正整数，1m．21yx．解法二：由题意知，当0x时，20(1)0(2)0ymm．以下同解法一）解法三：22(1)4(2)(3)mmm，12(1)(3)122mmxxxm，，．又122020xxxm，．2m．（以下同解法一．）解法四：令0y，即2(1)(2)0xmxm，12(1)(2)012xxmxxm，，．（以下同解法三．）（Ⅱ）解法一：1212111010xxxx