2.5.1--平面几何中的向量方法2.5.2--向量在物理中的应用举例

2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题.日常生活中,我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体(如图).如果绳子的最大拉力为,物体受到的重力为你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力的大小与两绳之间的夹角θ的关系？FG.1F1.能利用向量的知识解决几何中的长度、角度、垂直等问题.2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．(重点、难点）3.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤.4.掌握向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.（难点）1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？提示：对角线长度的平方=两邻边的平方和.平行四边形有类似的数量关系吗？微课1（长度问题）思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？提示：确定ABCD思考2:在平行四边形ABCD中，设向量则向量等于什么？向量等于什么？ABa，ADbACDBDBab,ACab.提示:2222222,4,24,24,1.2由得=4即（）所以abababaabbaabbab2,1,-2,?3利用如何求等于多考少？思abababAC22222||()226.ACababaabbaabb提示:在四边形ABCD中ABBC=0，且AB=DC，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形B【即时训练】例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCDACABAD,DBABAD,,,.，解：设则ABaADbACabDBab222()()2(1)ACACACababaaabbabbaabb2222(2)同理DBaabb222222(1)(2)2()2().得ACDBabABAD注意这种求模的方法平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.（3）把运算结果“翻译”成几何元素.用向量方法解决平面几何问题的“三步法”：【方法规律】几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化[证明]设AO→＝a，OB→＝b，则AB→＝a＋b，OC→＝a，BC→＝a－b，|a|＝|b|.因为AB→·BC→＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，所以AB→⊥BC→.所以∠ABC＝90°.求证：直径所对的圆周角为直角．【变式练习】例2.如图，□ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？ABDEFRTC猜想：AR=RT=TCABa,ADb,ARr,ACab.设设由于与共线，故设因为ARACrn(ab),nR，又因为共线，所以设EREB与1ERmEBm(ab).2因为所以ARAEER，11rbm(ab).221122因此()()，nabbmab1EBABAEab,2【解析】m1(nm)a(n)b0.2即因向量a,b不共,为线nm0m1n0.2所以，nm.1=3解得：111ARAC,TCAC,RTAC.333ARRTTC.所以同理于是故利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求m，n的值，是处理线段长度关系的一种常用手段.【方法规律】在△ABC中，若(CA→＋CB→)·(CA→－CB→)＝0，则△ABC为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．形状无法确定【解析】∵(CA→＋CB→)·(CA→－CB→)＝0，∴CA→2－CB→2＝0，CA→2＝CB→2，∴CA＝CB，△ABC为等腰三角形．C【变式练习】例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？提示：夹角越大越费力.微课2利用向量解决力（速度、位移）的合成与分解思考1:若两只手臂的拉力为物体的重力为那么三个力之间具有什么关系？12FF，，G,12FFG，，12 FFG0.＋＋提示:思考2:假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么||，||，θ之间的关系如何？1|G||F|=，θ2cos2θ01801F2FGFG1F提示:思考3:上述结论表明，若重力一定，则拉力的大小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如何？1||||,2cos2GF0180G增函数提示:思考4:||有最小值吗？||与||可能相等吗？为什么？110,2120.时，最小，最小值为时，GFFG1F1FG提示:用向量解力学问题对物体进行受力分析画出受力分析图转化为向量问题1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型.3.参数的获得,即求出数学模型的有关解----理论参数值.4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.【方法规律】用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是________．10N【互动探究】【解析】因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10N.故填10N.122.d=500mA.v=10km/hv=2km/h(0.1min)例如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从处出发到河对岸已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用的时间是多少精确到？A·CBD12122vvvv10km/h,v2km/hvvt.如图，已知，析，，求分：A2v1vv·CBD20.由已知件得解：vv条2212|v||v||v|96(km/h),0.5603.1(min).||96所以dtv答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.如图，已知甲、乙两人同时从O出发，甲行走10km到达B处，乙出发的方向与甲的方向的夹角为60°，乙走了14km后到A处，求此时甲、乙两人之间的距离．【变式练习】解析：AB2→＝(OB→－OA→)2＝OB2→＋OA2→－2OA→·OB→，又∵|OB→|＝10，|OA→|＝14，∴AB2→＝100＋196－2×14×10×cos60°＝156，∴|AB→|＝239.∴此时甲、乙两人之间的距离为239km.1．已知点A(3，1)，B(0,0)，C(3，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC＝λCE，其中λ等于()A．2B.12C．－3D．－13C【解析】如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝33，∴|BC||CE|＝3，∴BC＝－3CE.2.在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．25B.525C．35D.725BB4.已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若RA→＝2AP→，求点P的轨迹方程．【解题关键】代入法求轨迹方程设出P（x，y）和R（x0，y0）的坐标，用P的坐标表示R点的坐标，之后代入已知直线方程化简即得。【解析】设P(x，y)，R(x0，y0)，则RA→＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，AP→＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)．由RA→＝2AP→，得1－x0＝2x－1，－y0＝2y，又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，∴1－x0＝2x－2，①6－2x0＝2y.②由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程.1.用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基底,用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算,进而解决问题.2.要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等.3.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题把运算结果“翻译”成几何关系转化运算翻译4.利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.5.平面向量知识结构图平面向量向量的概念定义表示方法向量的模向量间的关系平面向量基本定理向量的运算加法减法实数与向量的积向量的数量积向量的应用几何表示符号表示坐标表示平行向量垂直向量相等向量相反向量加法法则运算性质坐标运算定义运算性质坐标运算定义运算性质坐标运算向量共线定理减法法则坐标运算一年之计，莫如树谷：十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。长才靡入用，大厦失巨楹。——邵谒