2014年北师大版五年级上册奥数讲义

Page1优等生同步奥数提高五年级（上）第一讲整数问题第1课倍数与因数（一）一、知识要点1.质数与合数质数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。（素数）合数：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。1不是质数，也不是合数。2.质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：30分解质因数。解：30=2×3×5答：2、3、5是30的质因数。分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数100以内的质数（要会背的）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.Page23.公因数与公倍数公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。一个数的因数的个数是（）的，倍数的个数是（）的。几个数的公因数的个数是（）的，公倍数的个数是（）的。4.最大公因数与最小公倍数最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。a、b的最大公因数=(a，b)最小公倍数：在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。a、b的最小公倍数=[a、b]（18，30）=2×3=6[18，30]=2×3×3×5=90二、典型例题详解【例1】五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？一共可以分成多少个小组？解：30=2×3×524=2×3×2×242=2×3×7（30，24，42）=2×3=6（人）30÷6=5（个）24÷6=4（个）42÷6=7（个）5＋4＋7=16（个）183029335用公有的质因数2除用公有的质因数3除除到两个商是互质数为止15用短除法计算：Page3答：每组最多可以分6人，一共可以分16个组。【例2】有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？解：16=2×2×2×212=2×2×3[16，12]=2×2×2×2×3=48（厘米）48÷16=3（块）48÷12=4（块）3×4=12（块）答：最少需要12块扣板。【例3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”求出甲、乙现在的年龄。解：∵甲现在的年龄是乙的7倍，则甲的年龄比乙大6倍；∵当甲的年龄是乙的6倍时，则甲的年龄比乙大5倍；∵当甲的年龄是乙的5倍时，则甲的年龄比乙大4倍；∵当甲的年龄是乙的4倍时，则甲的年龄比乙大3倍；∵当甲的年龄是乙的3倍时，则甲的年龄比乙大2倍；∵当甲的年龄是乙的2倍时，则甲的年龄比乙大1倍；∴甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。[6，5，4，3，2]=6×5×4×3×2=60（岁）60÷（7-1）=10（岁）10+60=70（岁）答：甲的年龄是70岁，乙的年龄是10岁。【例4】写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组?解：假设这三个数分别是a、b、c∵a、b、c两两不互质，且a＜20，b＜20，c＜20，则两两间的质因数互不相同且乘积小于20（a，b）=2或（a，b）=3或（a，b）=5；（a，c）=2或（a，c）=3或（a，c）=5；(b，c）=2或(b，c）=3或(b，c）=5；∴a，b，c三数有可能是2×3=6，2×5=10，3×5=15，2×6=12，3×6=18。又∵（a，b，c）=1；（6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=答：共有三组，分别是（6、10、15），（10、12、15），（10、15、18）。用短除法计算：Page4三、课后习题1.求56，36，284的最小公倍数。3.三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒。三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？5.把一张长120cm，宽80cm的长方形纸裁成同样大小的正方形(纸不能有剩余)，至少能裁成多少张这样的正方形纸，每张裁成的纸是多大？2.有336个苹果、252个梨子、210个桔子，用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物中，三种水果各占多少？4.有一个表，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。中午12点时既亮灯又响铃。下次既亮灯又响铃在几点？6.用一个数去除31，61，76都余1，这个数最大是多少？Page5第2课倍数与因数（二）一、知识要点1.最小公倍数与最大公因数之间的关系定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。即：如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。即：[a，b]×（a，b）=a×b定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数二、典型例题详解【例1】甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。解：设乙数是a36×a=4×288a=4×288÷36a=32答：乙数是32。【练一练】甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。【例2】已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：设这两个数分别为a、b126÷21=66=3×2或6=1×6a=3×21=63a=1×21=21b=2×21=42b=6×21=12663+21=8421+126=147答：这两个数的和是84或147。【练一练】两个自然数的和是56，它们的最大公因数是7，求这两个数。Page6【例3】两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。解：设这两个自然数分别是5a、5b∵5a+5b=50∴a+b=10∵(a，b)=1且a+b=10∴｛91ba或｛73ba当｛91ba时，5a=5，5b=455b-5a=40当｛73ba时，5a=15，5b=355b-5a=20答：这两个数的差是40或20.【练一练】已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数。【例4】两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。解：设这两个数是A、B。且A=am；B=bm∵A+B=54，则am+bm=54∴m(a+b)=54∵(A、B)=m；a、b为A、B两数的非有公因数，(a、b)=1∴[A、B]=m×a×b∵[A、B]－(A、B)=114，则m×a×b－m=114∴m(ab－1)=114∵m(a+b)=54且m(ab－1)=114则m是54和114的公因数又∵（54，114）=6，6=1×6=2×3∴m=1或m=6或m=2或m=3如果m=1，则1×(a+b)=54，a+b=54；1×(ab－1)=114，ab=115∵115=1×115或115=5×23∵115+1≠54且5+23≠54∴m≠1如果m=6，则6×(a+b)=54，a+b=9；6×(ab－1)=114，ab=20∵(a、b)=1，则20=1×20或20=4×5∵1+20≠9，4+5=9则m=6，a=4，b=5；∴A=4×6=24，B=5×6=30如果m=2，则2×(a+b)=54，a+b=272×(ab－1)=114，ab=58∵(a、b)=1，则58=1×58或58=2×29（接【例4】）如果m=3，则3×(a+b)=54，a+b=183×(ab－1)=114，ab=39∵(a、b)=1，则是39=1×39或58=3×13∵1+39≠18且3+13≠16∴m≠3答：这两个自然数是24和30。【练一练】两个数的差是4，最大公因数与最小公倍数的积是252，求这两个数。Page7∵1+58≠27且2+29≠27∴m≠2三、课后作业（1）某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，这个数是多少？（2）已知两个自然数的最大公因数为4，最小公倍数为120，求这两个数。（3）两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少？（4）已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。（5）两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求两个数的和。（6）已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。（7）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？Page8（8）两个自然数的差是3，它们的最大公因数与最小公倍数的积是180，求这两个数。复习练习第2课（1）有一种地砖，长20厘米，宽15厘米，至少需要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形？（2）一箱鸡蛋，四个四个数多3个，五个五个数多4个，七个七个数多6个，这箱鸡蛋至少有多少个？（10）已知a与b、a与c的最大公因数分别是12和15，a、b、c的最小公倍数是120，求a、b、c。（3）有一个班的同学包车旅游，如果增加一辆车，正好每辆车坐10人，如果减少一辆车，正好每辆车坐15人，这个班共有多少人？（4）一条路长96米，从一端起，每隔4米栽一棵树（路两旁都栽）。现要再每隔6米栽一棵，已栽上的地方不用重栽，这条路上共需新栽多少棵树？Page9第二讲图形的面积第1课巧求图形面积一、知识要点1.基本平面图形特征及面积公式特征面积公式正方形①四条边都相等。②四个角都是直角。③有四条对称轴。S=a2长方形①对边相等。②四个角都是直角。③有二条对称轴。S=ab平行四边形①两组对边平行且相等。②对角相等，相邻的两个角之和为180°③平行四边形容易变形。S=ah三角形①两边之和大于第三条边。②两边之差小于第三条边。③三个角的内角和是180°。④有三条边和三个角，具有稳定性。S=ah÷2形①只有一组对边平行。②中位线等于上下底和的一半。S=(a+b)h÷22.基本解题方法：由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。二、典型例题详解【例1】已知平行四边表的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用多少厘米铁丝？（单位：厘米）Page10【例2】下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）【练一练】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）【例3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度。【练一练】直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。求CF的长。平行四边形ABCD的边长BC=10厘米，Page11【例4】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：厘米）【练一练】下面的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点，求梯形ABCD的面积是三角形EDB面积的多少倍？【练一练】【练一练】计算下面图形的面积。一个长方形的草坪，中间有两个人行道。高是14求草坪的面积。(单位：厘米)3228BPage12三、课后作业1．3.求图中阴影部分的面积。单位：厘米2.4.梯形ABCD的面积是45平方厘米，高6厘米。三角形AED的面积是5平方厘米，BC=10厘米，求阴影部分的面积。下面的梯形中，阴影部分面积是150平方厘米，求梯形的面积。正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求：（1）三角形DEF的面积。（2）CF的长。Page135.6.求图形中梯形ABCD的面积。（单位：厘米）第2课等积变形求面积一、知识要点等底等高的三角形面积相等平行四边形如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的2倍，大三角形高是小三角形高的。如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的3倍，大三角形高是