金融风险理论与模型-第10章

110.1风险计量一致性公理什么样的风险计量模型是合格的风险计量工具？它的基本条件是什么？“一致性公理（CoherentAxiom）”是由Artzer、Delbean、Eber、Heath（ADEH，1997，1998，2002，2004）共同提出的。其内容是：若某种风险测度（RiskMeasure）满足次可加性（Sub-additive）、正齐次性（PositivelyHomogeneous）、单调性（Monotonous）和传递不变性（TranslationInvariant）四个条件，则该风险测度是一致性风险测度（CoherentRiskMeasure）。2若以X和Y分别表示两个资产（组合）的随机损益，ρ表示它们的风险测度（RiskMeasure）则一致性公理的4大条件可以表示为：(xy)x)(y)（次可加性•次可加性反映了组合投资具有分散风险的特点，因此，任何资产组合的总风险应该小于或等于该组合中各种资产（分组合）分别计量的风险之和。标准差显然满足次可加性！正齐次性(x)(x),0aaa•此条件实际上是次可加性的特例，它反映了没有分散风险的效应。3单调性xy,(x)(y)ifthen•若一个资产组合占优于另一个资产组合，则必须满足前者随机回报的各分量大于或等于后者随机回报所对应的分量，且前者的风险至少不大于后者。•这实际上马克维茨随机占优，或者是均方准则的扩展传递不变性(x(1))(x)brb•若增加无风险的头寸到组合中，组合风险将随着无风险头寸的增加而减少。该条件实际上是巴塞尔资本充足率的表示。4一致性公理表达的是金融风险最基本的常识，通过公理可以检验风险计量工具对资产组合整体与部分的风险测度是否具有“一致性”——系统与组分之间没有逻辑上的矛盾。一致性公理最重要的是次可加性，可是VaR在某些情况下可能违背次可加性：假设市场上有100种债券，这些债券的期限都为1年，债券的票面利率、到期收益率和违约率分别为3%、3%和1%，且这些债券相互独立的。组合A：100种债券各投资1万，组合B：全部资金投资1种证券，由第7章可知，在95%置信水平下有()()VaRAVaRB5若资产组合的回报的分布服从联合正态分布，则VaR满足次可加性0220111,22222200111,2111,1PcPnnnciiijijijiijijnnniiccijijijiijijnnniijijiijijniiVaRvzTvzT除了正态分布以外，t分布、GED分布等都可以满足一致性公理6次可加性的意义次可加性+正齐次性=凸性的风险测度()()()()(),0()(),0()()()()()xyxyaxaxabybybaxbyaxbyaxby对照：凸函数的定义可知，为凸性风险测度。((1))()(1)()ftxtytfxtfy()7()xx在某点以上，凸函数比与之相切的线性函数增长的快，凹函数则相反。根据凸函数的性质可知（1）满足一致性公理的风险测度必定是凸性的风险测度（2）必定可以对资产组合进行优化，找到一个最小风险点，也就是可以进行资本或者风险的配置（riskallocation）()()0()xx为凸函数，且则使最小化。8次可加性的重要性若风险测度满足次可加性，则意味着该风险测度是凸风险测度，就可以通过优化求得最小风险的资产组合，进行资产组合的分配，从风险计量到风险管理的一致性。违反次可加性可能导致资产组合的风险测度大于组合中各资产（分组合）风险测度的和，由此将导致一个荒谬的风险规避策略：一个包含多个部门的金融机构只要将其资产分别划给其下的各个部门，由各个部门分别独立地计算其所暴露的风险，再将各个部门风险加总，由此得到的整个金融机构的总风险，就小于从金融机构层面直接计量的总风险，从而造成整个金融机构风险下降的假相，可见，违背次可加性还会导致金融监管上的漏洞。910.2期损模型（ES，CVaR）为了修正VaR的缺陷，ADEH提出了条件VaR（ConditionalVaR，下文简称CVaR），又称为期望损失（ExpectedShortfall，ES）。CVaR是指大于某个给定的VaR的条件下，资产组合极端损失的期望值。若资产组合的随机损益为y，则对应于置信水平c的CVaR为101()()()1ESXEXXVaRFqdq()inf{|Pr[]}()qFqdqxXxqVaRy10ES的满足次可加性CVaR不是单一的分位数，而是尾部损失的条件期望值，这与VaR有根本的区别，只有将所有大于VaR的资产损益的下分位数全部估计到，才能够得到CVaR，因此，它对尾部损失的测度是充分的，且满足次可加性。:1,2,...,1:2:n1::1:2::{},,...,[]max{|,},{,,...,}iniinnnninnnnXXiXXXXnmmnmtheleastoutcomesXXX为的第个次序统计量显然有111::1:1::11()()()()()()()niniiniininiiVaRXxXXXESXXYESXYXYESXESY12一致性公理的不足正齐次性的缺陷：线性风险测度，即若单位头寸资产的风险为ρ，则a单位头寸的风险为aρ。这实际上是忽略了资产可能存在的流动性。在VaR情形下这意味着(x)(x),0aaa00ccRVaRvznsz这里n为头寸的数量，可以认为在一定的数量情况下，可以满足线性关系，即投资者对市场的出清行为不改变风险因子的分布。13正齐次性的金融学问题正齐次性确立了盯市方法对于任意数量的头寸都满足风险测度的线性，这意味着现实的市场是无摩擦的（flectionless)，即理想的瓦尔拉市场1.正常市场情形+小交易量。价差的存在表明盯市可能失败，实际出清时候可能要付出流动风险的代价，此种流动性为外生的流动性2.正常市场+大宗交易（Block-trading），价差急剧扩大，此时流动性风险内生化3.极端市场（如金融危机发生之前），即便小额交易其流动性风险极大。14LiquiditybasedonFinancialMarketMicrostructure1.密度又称宽度（Width），它是指交易价格偏离中间价格（有效价格或盯市价值）的程度。2.深度又称广度（Breadth），它表示在特定的价格上存在的订单数量。由于交易价格常常受到交易数量的影响，这意味着密度必须与订单数量相联系。若市场对于小额订单具有较大的密度，而对于大额订单只有很小的密度，即在某个价格水平下的密度不具有稳定性，则意味着市场在该价格下深度不足。3.弹性是指由于一定数量的交易而导致价格偏离均衡水平后，恢复到均衡价格的时间，它是衡量市场自我恢复的能力。15价差头寸的数量市场深度内生流动性外生流动性图2-2内生流动性和外生流动性的关系交易者在现实市场中不仅面临着资产内在价值的不确定性，而且还面临着流动性风险。所以，从现实的市场条件出发，计量市场风险不能局限于对资产盯市价值波动性的衡量，还必须关注资产的流动性风险，否则就可能低估实际的风险。1610.3La-VaR模型为了更准确的计量市场风险就必须放松VaR模型的基本假设，从现实有摩擦的市场条件出发，构建综合计量资产内在价值波动性和流动性的风险计量模型，即所谓的流动性调整的风险价值模型（Liquidity-adjustedVaR，下文简称La-VaR），它正成为风险管理领域一个新的研究方向。价格法：目前学术界对流动性及其风险的定义和计量方法尚存在争议，但买卖价差无疑是流动性最重要和最直接的衡量指标，买卖价差越小，表示立即执行交易的成本越小，市场流动性也越好。价量分析法-流动性比率法：通过估计价格和数量之间的关系而得到的流动性比率17一个简单的La-VaR模型01exp[()]tsstwt18(1)tttpsb220121exp[(()1())]2tbbwtwtt19La-VaR模型的证明命题10.1：中间价格增量与价差增量的相关系数为ρ证明：由协方差计算公式以及维纳过程的性质有221212121221211cov[(()1()),()]2{[(()1())][()]}[()1()()]wtwtttwtEwtwtwtEwtwtwt20222112[1()()]1(())(())0EwtwtEwtEwt221211cov[(()1()),()]2wtwtttwtt21下面计算中间价格增量的方差，这里211[()][()]DtwtDwtt•且价差增量的方差为2212212222221[(()1())]2[(()][1()](1)DwtwttDwtDwtttt222212122121221cov[(()1()),()]21[(()1())][()]2wtwtttwtDwtwttDtwtttt由此我们就以命题的方式解释了交易价格方程构造的形式。23命题2:任意t时刻价差的期望值都等于初始时刻的价差b0。212022222020[exp(())][exp(1())]()1exp()2(1)exp()exp()221exp()2tEwtEwtEbbtttbtb24220121exp[(()1())]2tbbwtwtt由方程可知，收敛性，我们在方程中增加了，命题2表明价差序列具有收敛性。212t25计算La-VaR012200112()((1)){exp[()]1exp[()]exp[(()1())]}2tttDpDsbDstwtsbtwtwtwtt221121(),(()1())2xtwtywtwtt令000200222000(){exp()exp()}[exp()exp()]{[exp()exp()][(exp()exp())]}tDpDsxsbxysDxbxysExbxyExbxy26上式第一项化简22000[exp()exp()][exp(2)2exp(2)exp2()]ExbxyExbyxbxy则需分别计算该式等号右边的各项。21()(exp2)exp(2)xtwtExtt222122212212121()(2)()2121()(2)()221(()1())2(exp(2))()()()exp(222)ttwtwtttwtwtywtwttEyxEeeeeEeEettt27222121()2()()222[exp2()]()exp(242)wtwtttExyEeeetttt2222202222224200[expexp()]2tttttttttExbxyebebe因此，第一项化简后的结果为28下面，化简上式第二项20[(exp()exp())]Exbxy21(exp)exp()[exp(()]exp()2tExtEwtt222111()()()22[exp()]()()1exp()2ttwtwtExyeEeEettt