分形几何在金融上的分析

分形理论及其在股市上的应用分形几何产生的背景•经典几何的研究对象:规则的图形，如圆，三角形等．•问题：对于不规则的图形：如海岸线，云的边界，我们如何研究？如何用计算机去生成？分形几何产生的背景•下面我们再介绍一些传统方法难以处理的一些问题．•如何研究在闭区间上处处连续处处不可导的函数：•如Weierstrass函数？一类Weierstrass函数的具体表达式0)2()sin()(nnnsxxW•其中1s2,1大自然的不规则性•树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？•B.Mandelbrot观察到英国海岸线与VanKoch曲线的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科---分形(Fractal).Julia集．是一个复多项式函数，)(:0nkkkzazfCCf集．的合的闭包称为的斥性周期点所组成集Juliaff集为单位圆周．　的则若Julia,)(2fzzf集将非常复杂．　的时，当则若Julia0,)(2fCCzzfC=-1Julia集C=-0.5+0.5iJulia集C=-0.2+0.75iJulia集C=0.64iJulia集Mandelbrot集集．称为是有界数列Mandelbrot})}0({{1nncPcMczzPc2)(令Mandelbrot集分形几何的历史•萌芽期：十九世纪末，二十世纪初.Cantor集，Weierstrass函数等的提出.分形几何的历史•形成期：二十世纪六、七十年代.Mandelbrot的大量工作.1.1967年，Science,英国的海岸线有多长？2.1975年，《分形对象：形，机遇和维数》.分形(fractal)这个词源于这本书.它的意思是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派生出来的.英国的海岸线有多长?•测量方法：我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过，设这样测得的海岸线长度为L().然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。英国的海岸线有多长?用一只小老鼠代替人测量。用苍蝇代替小老鼠测量。•测量结论：随着步长越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。英国的海岸线有多长(续)?•Richardson的经验数据L()与成正比，其中的值依赖于具体的海岸线。而且对同一海岸线，对不同的区段，常常得到不同的。在Richardson看来，没有什么特别意义。英国的海岸线有多长(续)?•Mandelbrot的贡献把的意义挖掘出来，将1+=D解释为“分形维数”。分形几何的历史(续)•发展期：二十世纪八十年代至今.1.Hutchinson,1981,分形与自相似.给出了自相似集合的数学理论基础.2.Mandelbrot,1982,《自然界的分形几何》.分形几何的历史(续)3.Barnsley,1988,《Fractaleverywhere》.4.Falconer,1990,《分形几何——数学基础及其应用》.分形函数我们的主要研究对像是分形函数。①Weierstrass函数②Weierstrass型函数分形几何的研究对象（二）•自仿射集（每个映射都是压缩的仿射映射）。•迭代函数系统的不变集（每个映射都是压缩映射）。•分形函数（如：Weierstrass函数）。•随机分形（如：随机Koch曲线）。分形的应用领域•数学中的动力系统等;•物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等;•化学中酶的构造等;•生物中细胞的生长等;分形的应用领域•地质学中的地质构造等;•天文学中土星光环的模拟等;•其它:计算机,经济学,社会学,艺术等Minkowski“香肠”龙曲线Hilbert曲线花草树木(L系统）HausdorffDimensionBoxDimension分形在金融分析中的应用•金融学的基础之一是现代证券理论，支撑这一理论的数学在处理极端问题时，作了尽可能从宽的处理。认为重大的市场巨变出现的可能性很小，或者认为这类变化无法加以考虑。现代证券理论提出的防范风险的措施依靠的是一些要求很严而且没有什么根据的假设。分形在金融分析中的应用•首先，它认为价格的变动统计上是彼此独立的，例如今天的价格对于现行价格和明天的价格之间的变化毫无关系。•其次，假设所有价格变化的分布服从标准的正态分布，正态分布的宽度描述了价格变化偏离平均值有多远，极端情况的事件被认为是及其罕见的。•然而，人们经常观察到价格的急升急降------频繁到每个月都会出现-----它们的概率并不像证券理论认为的亿亿亿分之一，而是高达百分之几。分形在金融分析中的应用•最近，人们通过对实际市场历史数据的研究发现，即使竞争最激烈的市场，实际上市场的变化规律也不是严格的随机的，价格的起伏是相关的，且具有长程相关性，因此可以通过分形理论来进行描述。分形在金融分析中的应用•Manderbrot在其早期对棉花价格的分析中发现，棉花的差价显示出时间标度行为。•Stanley等发现随着销售额的增加，下降速率的分布在七个量级以上呈现幂函数规律。分形在金融分析中的应用•Zhang对32间（1966-1998）纽约市场包含最大的四百家上市公司综合指数的每日收盘价进行了统计，发现历史价格可以以一定概率预测最近的将来指数的涨落。也就是说，即使是复杂的、多体相互作用的金融市场，其内部也隐含有一定的规律。分形在金融分析中的应用•Mandelbrot提出用分形生成元模拟价格随时间的变化，而多重分形分形中可以得到大的价格涨落的信息。分形的特点是具有自相似性，在金融学中，这一概念并不是无根据的抽象，人们在市场走势图中经常可以看到局部和整体有某种程度的相似性。分形在金融分析中的应用•观察者无法确定哪些数据涉及的是价格从一周到下一周的变化情况，哪些数据涉及的是价格从一天到下一天的变化情况，哪些数据涉及的是价格从某一钟点到下一钟点的变化情况，换言之，人们研究发现的哪些金融数据中，广泛地存在着标度不变规律。分形在金融分析中的应用•分形可以对这一特征从理论的高度上重新进行表述。而多重分形又在简单分形的基础上增加了能描述市场易变性的功能。与常规的统计方法不同，多重分形的方法能将复杂体系分成许多奇异程度不同的区域来研究，分形在金融分析中的应用•从而使我们能分层次地了解复杂体系的内部精细结构和所富含的信息。通过对金融数据的多重分形分析，有望能找到多重分形参数与金融数据中大的涨落间的关联性，并以一定概率反映和预测金融市场的剧烈动荡。分形在金融分析中的应用人们可以利用多分形来对证券进行“应力测试利用支配多分形的规则来产生支配真实市场的未知规则所产生的那些变化模式。多分形描述了生成元的形状和实际市场资料图表上待发现的价格上下波动规律间的关系。分形在金融分析中的应用从实用角度看，分形生成元可以根据市场的历史资料总结出来。所用的实际模型并不仅仅考察市场昨天或上个星期发生的情况。实际上，它是市场波动的更现实的描述，称为多分形交易时间中的分数布朗运动。分形在金融分析中的应用•该模型产生的生成元所创造的图形可以模拟以前的市场活动为基础的替代变化图景，这种方法不会使人们能够更有把握地根据过去的资料预测某一天的股价是升还是降。但是，它们提供了关于市场动向的概率估计值，据此人们可以对必将发生的重大变化做好准备。分形在金融分析中的应用•多重分形谱是直接由指数随时间的变化计算出来的，它是对指数的价位、最高最低指数的比值和低位指数出现的频率等进行统计计算，因此应当包含有反映市场活动趋势的信息。分形在金融分析中的应用•对恒生指数的多重分形谱的计算可以采用和计数法。这里盒子或者区间内的价格概率P可有多种解法，我们以平均指数Iav为基准把概率表示为分形在金融分析中的应用22)()()(aviaviiIIIIP•或者分开写作||||)(2aviaviiIIIIP分形在金融分析中的应用•也可以以最小的指数IMIN以下的某一参考值数If基准：||||)(2aviaviiIIIIP•其中，IfImin保证每一点的概率都大于0；或者直接利用原始的股指表示为：分形在金融分析中的应用iiiIIP)(