断裂力学结课作业

第一部分——断裂力学基本概念理论综述断裂力学定位断裂力学是为解决机械结构断裂问题而发展起来的力学分支，它将力学、物理学、材料学以及数学、工程科学紧密结合，是一门涉及多学科专业的力学专业课程。学习中介绍了断裂的工程问题、能量守恒与断裂判据、应力强度因子、线弹性和弹塑性断裂力学基本理论、裂纹扩展、J积分以及断裂问题的有限元方法等内容。断裂力学诞生现代断裂力学（fracturemechanics）这门学科，就在这种背景下诞生了。从上世纪五十年代中期以来，断裂力学发展很快，目前线性理论部分已比较成熟，在工程方面，已广泛应用于宇航、航空、海洋、兵器、机械、化工和地质等许多领域。解决断裂问题的思路因为断裂的发生绝大多数都是由裂纹引起的，而断裂尤其是脆性断裂，一般就是裂纹的失稳扩展。裂纹的失稳扩展，通常由裂纹端点开始。因此，发生断裂的时机必然与裂端区应力应变场的强度有关。对于不含裂纹的物体，当某处的应力水平超过屈服应力，就要发生塑性变形；而对于含裂纹的物体，当某裂端表征应力应变场强度的参量达到临界值时，就要发生断裂。这个发生断裂的临界值很可能是材料常数，它既可表征材料抵抗断裂的性能，亦可用来衡量材料质量的优劣。影响断裂的两大因素———载荷大小和裂纹长度考虑含有一条宏观裂纹的构件，随着服役时间后使用次数的增加，裂纹总是愈来愈长。在工作载荷较高时，比较短的裂纹就有可能发生断裂；在工作载荷较低时，比较长的裂纹才会带来危险。这表明表征裂端区应力变场强度的参量与载荷大小和裂纹长短有关，甚至可能与构件的几何形状有关。断裂力学研究内容储备强度究竟是个什么样的参量？它与表征裂端区应力变场强度的参量有何关系？如何计算它？如何测量它？它随时间变化的规律如何？受到什么因素的影响？韧度（toughness）是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力。它是个能量的概念。脆性（brittle）和韧性（ductile）一般是相对于韧度低或韧度高而言的，而韧度的高低通常用冲击实验测量。高韧度材料比较不容易断裂，在断裂前往往有大量的塑性变形。如低强度钢，在断裂前必定伸长并颈缩，是塑性大、韧度高的金属。金、银比低强度钢更容易产生塑性变形，但是因为强度太低，因此吸收能量的能力还是不高的。玻璃和粉笔则是低韧度、低塑性材料，断裂前几乎没有变形。脆性与韧性的相互转化原因：应力状态、温度和微观断裂机制，是脆性断裂和韧性断裂的划分不能单考虑韧度高低这个因素。一种材料一般是随裂纹的存在和长度的增加以及温度降低和构件截面积的增大，而增加脆性断裂的倾向。脆性断裂如图所示的一个带环形尖锐切口的低碳钢圆棒，受到轴向拉伸载荷的作用，在拉断时，没有明显的颈缩塑性变形，断裂面比较平坦，而且基本与轴向垂直，这是典型的脆性断裂。粉笔、玻璃以及环氧树脂、超高强度合金等的断裂都属于脆性断裂这一类。韧性断裂反过来说，若断裂前的切口根部发生了塑性变形，剩余截面的面积缩小（既发生颈缩），段口可能呈锯齿状，这种断裂一般是韧性断裂。前边提到的低强度钢的断裂就属于韧性断裂。象金、银的圆棒试样，破坏前可颈缩至一条线那样细，这种破坏是大塑性破坏，不能称为韧性断裂。韧性断裂与脆性断裂之比较脆性断裂时的载荷与变形量一般呈线性关系，在接近最大载荷时才有很小一段非线性关系。脆性断裂的发生是比较突然的，裂纹开始扩展的启裂点与裂纹扩展失去控制的失稳断裂点非常接近。裂纹扩展后，载荷即迅速下降，断裂过程很快就结束了。韧性断裂的载荷与变形量关系如图所示，有较长的非线性阶段，启裂后，裂纹可以缓慢地扩展一段时间，除非变形量增到失稳裂点，否则就不会发生失稳断裂。断裂问题研究尺度的划分如果用长度的量级来划分，从原子尺寸到大型结构，都与断裂有关。在原子物理方面（10-8米以下）的断裂研究比较少较困难。在10-8到10-4米的微观方面是属于材料科学的领域，主要是研究金相组织、夹杂物、二相粒子、晶粒大小等与微裂纹、裂纹扩展和断裂的关系。从10-4到100米就是断裂力学的研究范围，包括小至高度强度合金的裂端塑性区，大至断裂力学实验试样，更大的尺寸就完全属于工程范围。按照裂纹扩展速度的划分按照裂纹扩展速度来分，断裂力学可依静止裂纹、亚临界裂纹扩展及失稳扩展和止裂这三个领域来研究。亚临界裂纹扩展和断裂后失稳扩展的主要区别，在于前者不但扩展速度较慢，而且如果除去使裂纹扩展的因素（例如卸载），则裂纹扩展可以立即停止，因而零构件仍然是安全的；失稳扩展则不同，扩展速度往往高达每秒数百米以上，就是立即卸载也不一定来得及防止最后的破坏传统强度理论在现代断裂力学建立以前，机械零构件是根据传统的强度理论进行设计的，不论在机械零构件的哪一部分，设计应力的水平一般都不大于材料的屈服应力，即这里是设计应力；是安全系数，其值大于1；是屈服应力，在等截面物体受到单向拉伸时，即为单向拉伸的屈服强度。经典断裂理论断裂力学的一大特点是，假定物体已经带有裂纹。现代断裂力学能对此带裂纹物体的裂纹端点区进行应力应变分析，从而得到表征裂端区应力应变场强度的参量。nys本章介绍的是在现代断裂力学发展以前，科学家根据能量守恒定律而建立的断裂判据，相对于现代断裂力学，这可称为经典的断裂理论。Griffith能量释放观点能量释放(energyrelease)的观点，以及根据这个观点而建立的断裂判据。Griffith裂纹图(2－1)的Griffith裂纹问题(即无限大平板带有穿透板厚的中心裂纹，且受到无穷远处的单向均匀拉伸的裂纹问题)，以及图(2－2)的矩形平板带有单边裂纹(singleedgecrack)的问题。设两平板的厚度均为B，Griffith裂纹长度为2a，单边裂纹的长度为a。Griffith能量释放观点现在只考虑Griffith裂纹右端点。在拉伸应力的作用下，此裂纹端点向正前方扩展。根据Griffith能量释放观点，在裂纹扩展的过程中，能量在裂端区释放出来，此释放出来的能量将用来形成新的裂纹面积。能量释放率定义裂纹尖端的能量释放率(energyreleaserate)如下∶能量释放率是指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时，平板每单位厚度所释放出来的能量。为了纪念Griffith的功绩，用其姓的第一个字母G来代表能量释放率。由定义可知，G具有能量的概念。其国际制单位(SI单位制)一般用“百万牛顿/米”(MN/m)。表面自由能材料本身是具有抵抗裂纹扩展的能力的，因此只有当拉伸应力足够大时，裂纹才有可能扩展。此抵抗裂纹扩展的能力可以用表面自由能(surfacefreeenergy)来度量。一般用γs表示。表面自由能定义为：材料每形成单位裂纹面积所需的能量，其量纲与能量释放率相同。Griffith断裂判据若只考虑脆性断裂，而裂端区的塑性变形可以忽略不计。则在准静态的情形下，裂纹扩展时，裂端区所释放出来的能量全部用来形成新的裂纹面积。换句话说，根据能量守恒定律，裂纹发生扩展的必要条件是裂端区要释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量。设每个裂端裂纹扩展量为Δa，则由能量守恒定律有：Griffith假定γs为一材料常数，剩下的问题就是如何计算带裂纹物体裂端的能量释放率G。若此G值大于或等于2γs，就会发生断裂；若小于2γs，则不发生断裂，此时G值仅代表裂纹是否会发生扩展的一种倾向能力，裂端并没有真的释放出能量。带裂纹的弹性体的变形能考虑带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下，若裂纹仍然维持静止，则此弹性体所储存的总应变能U要比在没裂纹时所储存的总应变能U0大，两者之差用U1表示。可以说U1是因裂纹存在而附加的应变能。单边裂纹的能量释放率假想裂纹发生了准静态扩展，裂端所释放的能量是由总应变能的一部分转化过来的，因此，比较裂纹扩展前后的总应变能就可以得到能量释放率。则根据能量守恒定律和能量释放率的定义，可得：中心裂纹的能量释放率由于对称关系，中心裂纹系统所释放的能量将均等地分配到两个裂端，使每个端的裂纹扩展量为Δa。因此，裂纹两端具有相同的能量释放率，其表达式将为单边裂纹能量释放率表达式的一半。)2()(aBaBGssG2aaaaUaaUBGa)()()(1lim0aUBG1aUBG21能量释放率的另一表达形式由于没有裂纹时的总应变能U0与裂纹长度无关，U=U0＋U1，所以：Griffith裂纹的弹性力学理论分析Griffith利用Inglis的无限大平板带有椭圆孔的弹性解析解，得到了因裂纹存在而附加的应变能U1，其表达式为：这里σ是无穷远处的均匀拉伸应力，E是弹性模量。上式仅适用于很薄的平板(平面应力状态)；若是厚板，其内部是平面应变状态时，E应为所取代，这里ν是泊松比。Griffith断裂判据可得Griffith裂纹的能量释放率为：由Griffith断裂判据得：能量平衡理论按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的改变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能的改变量。假设W为外界对系统所做的功，U为系统储存的应变能，T为动能，D为不可恢复的消耗能，则Irwin—Orowan能量平衡理论可用公式表达如下∶假定裂纹处于准静态，例如裂纹是静止的或是以稳定速度扩展，则动能不变化，即dT/dt=0。若所有不可恢复的消耗能都是用来制造裂纹新面积，则：At为裂纹总面积，γp为表面能。aUBaUBG11211EBaU22121EaUBG21EaG2sG2sEa22dtdDdtdTdtdUdtdWdtdAdtdAdAdDdtdDtptt失稳扩展与止裂在脆性断裂的情况下，若能量释放率G已大于表面自由能2γs，此时裂纹扩展是否可能继续进行下去，直到整体破坏?或是裂纹扩展一个阶段后，会自动止裂?换句话说，如何判断裂纹是否已发生失稳扩展。所释放能量与形成裂纹面积所需能量的差额，是随裂纹增长而越来越大；还是随着裂纹增长反而越来越小，以致最后差额接近于零。如果是前者，则以发生了失稳扩展；如果是后者，则最终会止裂。内聚应力理论断裂的结果是造成新的裂纹面积，从原子间距的观点来看，就是把平行且相邻的晶体平面间的原子分离。作为物理模型，可视为把有相互作用力而结合在一起的两平面分离开。设σ为平面间的内聚应力，ε为应变。ε=（δ-δ0)/δ0，这里δ为瞬时平面间的距离。当ε由零渐渐增加时，起初σ基本上与ε成正比而增加，快接近最高内聚应力时，开始偏离线性关系，过了最高点σc以后，σ开始下降而ε仍然继续增加。如图所示。这种关系是定性的，并未得到实验的支持。其中最大内聚应力σc称为内聚强度。裂纹的基本型第一种称为张开型（openingmode）或拉伸型（tensionmode），简称I型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面法线方向(y方向)。它通常发生在载荷和几何形状对称于裂纹平面的情形，例如Griffith裂纹是I型裂纹，其裂纹的扩展方向是正前方（x方向）。若物体是均匀厚度的平板，裂纹贯穿板厚，则问题是二维的（平面问题）；若物体不是平板或者裂纹没有贯穿板厚，则是三维问题。许多工程上常见的断裂都是I型裂纹的断裂，这也是最危险的裂纹类型。第二种裂纹型称为同平面剪切型（in—planeshearmode）或者滑移型（slidingmode），简称II型。裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x方向，另一个向负x方向。在板厚均匀和裂纹贯穿板厚的情况下，此裂纹问题也是二维的，属弹性力学平面问题。第三种裂纹型称为反平面剪切型（anti—planeshearmode），简称III型。裂纹面上下表面的位移方向也是刚好相反，但一个向正z方向，另一个向负z方向。这里的z方向是板厚方向，属弹性力学空间问题。除了这三种基本型外，尚有复合型裂纹（mixedmodecrack），它是两种以上基本型的组合。应力奇异性和应力强度因子三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即r→0时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无限大。这种特性称为应力奇异性（stresssingularity）。