沈阳铁西区家教高考数学难点突破11函数中的综合问题

难点11函数中的综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.●难点磁场(★★★★★)设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时f(x)0且f(3)=－4.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)在区间［－9，9］上，求f(x)的最值.●案例探究［例1］设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,21］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a0.(1)求f(21)、f(41);(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(n+n21),求).(lnlimnna命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口.错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形.技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为)2()2()2()22()(xfxfxfxxfxf是解决问题的关键.(1)解：因为对x1,x2∈［0,21］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=)2()22(xfxxf≥0,x∈［0,1］又因为f(1)=f(21+21)=f(21)·f(21)=［f(21)］2f(21)=f(41+41)=f(41)·f(41)=［f（41）］2又f(1)=a0∴f(21)=a21,f(41)=a41(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x∈R∴f(－x)=f(2－x),x∈R.将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］∵f(21)=f(n·n21)=f(n21+(n－1)n21)=f(n21)·f((n－1)·n21)=……=f(n21)·f(n21)·……·f(n21)=［f(n21)］n=a21∴f(n21)=an21.又∵f(x)的一个周期是2∴f(2n+n21)=f(n21),因此an=an21∴.0)ln21(lim)(lnlimanannn［例2］甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS,全程运输成本为y=a·vS+bv2·vS=S(va+bv)∴所求函数及其定义域为y=S(va+bv),v∈(0,c].(2)依题意知，S、a、b、v均为正数∴S(va+bv)≥2Sab①当且仅当va=bv,即v=ba时，①式中等号成立.若ba≤c则当v=ba时，有ymin；若bac,则当v∈(0,c]时，有S(va+bv)－S(ca+bc)=S［(va－ca)+(bv－bc)］=vcS(c－v)(a－bcv)∵c－v≥0,且cbc2,∴a－bcv≥a－bc20∴S(va+bv)≥S(ca+bc),当且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，有ymin；综上可知，为使全程运输成本y最小，当bab≤c时，行驶速度应为v=bab,当babc时行驶速度应为v=c.解法二：(1)同解法一.(2)∵函数y=x+xk(k0),x∈(0,+∞),当x∈(0,k)时，y单调减小，当x∈(k,+∞)时y单调增加，当x=k时y取得最小值，而全程运输成本函数为y=Sb(v+vba),v∈(0,c].∴当ba≤c时，则当v=ba时，y最小，若bac时，则当v=c时，y最小.结论同上.●锦囊妙计在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数y=x+a与y=logax的图象可能是()2.(★★★★★)定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设ab0,给出下列不等式：①f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)g(b)－g(－a)其中成立的是()A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④二、填空题3.(★★★★)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_________.三、解答题4.(★★★★)设a为实数，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R.(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值.5.(★★★★★)设f(x)=xxx11lg11.(1)证明：f(x)在其定义域上的单调性；(2)证明：方程f-1(x)=0有惟一解；(3)解不等式f［x(x－21)］21.6.(★★★★★)定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f(xyyx1);②当x∈(－1,0)时，有f(x)0.求证：)21()131()111()51(2fnnfff.7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.8.(★★★★★)已知函数f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0,又g(θ)=sin2θ－mcosθ－2m,θ∈［0,2］,设M={m|g(θ)0,m∈R},N={m|f［g(θ)］0},求M∩N.基本上不看短文内容仅看选项，2010年高考有人竟然过了100分！高考有没有瞬间大幅度提分的可能？谁能让你不用花很多时间和心思学习，英语就能提高至少20-30分？要是真的话，简直是白捡的分数！不仅如此，当你了解了高考真题答案的所有内幕规律，看到了绝密的解题招式，就会豁然开朗。哇！原来也可以这么做题！你的思路因此将会被彻底打通，提高的分数将不仅仅是20-30分！无论现在的英语成绩是60分，还是110分，任何人都可以做到！这些绝密招式是太简单、太震撼了！所以，如果你看到了，切勿告诉他人，否则，他们会在高考中轻松超过你！请注意!如果你不相信这世上有考试秘诀，请立即将您的眼睛离开；如果你习惯于按照传统思路做题，不希望有思维上的突破，请你立即将您的眼睛离开；如果你现在的成绩已接近满分，甚至已是满分，请你立即将您的眼睛离开；如果你患有心理疾病或心脏病，请您立即将您的眼睛离开；如果你选择留下来，那么接下来的事，很可能让你目瞪口呆！如果我告诉你N个秘诀，在做完形填空和阅读理解题时，不用看文章和题干，只是简单的比较四个选项，就能瞬间选出正确答案，你是否想看？请先看下面的例子，它是辽宁卷2010年真题的第36题，是一个完形填空题.在此我只列出它的四个选项,试试看，只是比较选项，你是否能够在3秒之内选出正确答案?36.A.worriedB.sadC.surprisedD.nervous正确答案是C,ABD都是一个人状态不好的倾向词，而C则为中性词，表述态度不一致者是答案。.如果你知道了这个秘诀，可以解决很多类似的完型填空题!看一下辽宁卷2010年完形填空真题的第52题:52.A.LargelyB.GenerallyC.GraduallyD.Probably正确答案是C,ABD都是含义不肯定的副词，排除表述不明确的选项,答案就水落石出了.如果你知道了这个秘诀，你更是可以解决很多类似的完型填空题!试想一下,知道了全部36个完形秘诀之后,您的分数会怎么样呢?请再看下面的例子，它是辽宁卷2010年真题阅读理解题的第56题，在此我只写出它的题干和四个选项.也试试看，只是比较选项，你是否能够在5秒之内选出正确答案?56.FromParagragh1welearnthatthevillagers.A.workedveryhardforcenturiesB.dreamedofhavingabetterlifeC.werepoorbutsomewhatcontentD.livedadifferentlifefromtheirforefathers正确答案是C,选项中表述的内容前后相互矛盾的是答案!思路很简单，如果你掌握了其中的秘诀，抛开文章，你也可以很快选出正确答案.掌握此类瞬间解题秘诀，不仅缩短了答题时间，还能保障近乎100%的准确率！请上或上百度,输入沈阳英语家教吴军查询!吴军英语高分密码，让您第一次课就提10分！20次课提25-62分！模棱两可处和看不懂，该怎么办？要知道，如果对文章似懂非懂，那么，在文章中寻找答案线索就像大海捞针一样的难,更谈不上做对题！吴军英语高分密码将会告诉你此类瞬间解题秘诀,帮助你辨识选项中的诸多暗示点，瞬间找出正确答案,或者瞬间排除错误选项.请记住!在英语完型填空和阅读理解题的选项中，从头到尾都充满了暗示点,善于利用这些暗示点，可以快速做对题!无论任何人，在考试中，总会遇到吃不准选项的题，或可以称之为不会做的“难题”,那么，如果遇到“难题”，你会怎办？是放弃？不可能，怎么着也要“猜”出一个答案!那么，是“瞎猜”吗？如果是“瞎猜”，其正确率仅是25%，是可想而知的低！那么，如何“猜”才能有高的准确率呢？如果我告诉你N个秘诀,让你在做“难题”时，猜出的答案的准确率由25%提高至95%，甚至是100%,你愿意继续看下去吗?35.A.eatupB.dealwithC.throwawayD.sendout35题在B和C模棱两可处到底选哪个?当然选范围大的,能包括另一个的,即选B.再举个例子，假如2010年辽宁卷高考英语完形填空的47题,不知选哪个,怎么办？AsIfoundout,thereis,46,oftennoperfectequivalence(对应)betweentwo47intwolanguages.Myauntevengoessofarasto48thataChinese“equivalent”cannevergiveyouthe49meaningofawordinEnglish!47.A.wordsB.namesC.ideasD.characters很简单，选A，勿须有任何的犹豫,为什么？复现法则!吴军英语高分密码会告诉你具体原因以