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77动能和动能定理[知识精讲]知识点1动能物体由于运动而具有的能叫动能。动能的大小：EK=mv2/2。动能是标量。注意：（1）动能是状态量，也是相对量。因为v是瞬时速度，且与参照系的选择有关。（2）动能是标量，动能和速度的方向无关，如在匀速圆周运动中，瞬时速度虽然是变化的，但是其动能是不变的。（3）动能有相对性，由于物体的速度是与参照物的选择有关，故可知动能也与参照物的选取有关，即具有相对性。小鸟能在空中把飞机撞坏，充分说明了这一点。[例1]以初速度v0竖直上抛一个小球，若不计空气阻力，在上升的过程中，从抛出小球到小球动能减小一半所经历的时间是（）A．v0/gB．v0/2gC．2v0/gD．（1-2/2）v0/g[解析]设物体的动能减小一半时速度为v1,则根据动能的定义式EK=mv12/2有mv12/2=1/2×mv02/2,可解得:v1=2v0/2小球在上抛的过程中，做a=g的匀减速运动，设所经历的时间为t,则有:t=(v0-v1)/g=(1-2/2)·v0/g[答案]D[总结]动能与速度的方向无关.因此该题中，从抛出小球到小球动能减小一半时的速度可能有两个。若在该题中只是问：从抛出小球到小球动能减小一半所经历的时间为多少？则答案应该是两个，即在上升和落回时各有一个。[变式训练1]关于动能，下列说法中正确的是（）①公式EK=mv2/2中的速度v是物体相对于地面的速度②动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关③物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等但方向不同④物体以相同的速率做匀速直线运动和曲线运动，其动能不同A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]A知识点2动能定理（1）内容：合力所做的功等于物体动能的变化（2）表达式：W合=EK2-EK1=ΔE或W合=mv22/2-mv12/2。其中EK2表示一个过程的末动能mv22/2，EK1表示这个过程的初动能mv12/2。（3）物理意义：动能地理实际上是一个质点的功能关系，即合外力对物体所做的功是物体动能变化的量度，动能变化的大小由外力对物体做的总功多少来决定。动能定理是力学的一条重要规律，它贯穿整个物理教材，是物理课中的学习重点。说明：1．动能定理的理解及应用要点（1）动能定理的计算式为标量式，v为相对与同一参考系的速度。（2）动能定理的研究对象是单一物体,或者可以看成单一物体的物体系.（3）动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出在作用的过程中各力做功的多少和正负即可。这些正是动能定理解题的优越性所在。（4）若物体运动的过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以考虑全过程作为一整体来处理。2．动能定理的应用（1）一个物体的动能变化ΔEK与合外力对物体所做的功W具有等量代换关系，若ΔEK›0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功；若ΔEK‹0，表示物体的动能减小，其减少良等于合外力对物体所做的负功的绝对值；若ΔEK=0，表示合外力对物体所做的功等于零。反之亦然。这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。（2）动能定理中涉及的物理量有F、L、m、v、W、EK等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在整个位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于动能和功都是标量，无方向性，无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别方便。（3）动能定理解题的基本思路①选取研究对象，明确它的运动过程。②分析研究对象的受力情况和各个力做功情况然后求各个外力做功的代数和。③明确物体在过程始末状态的动能EK1和EK2。④列出动能定理的方程W合=EK2-EK1，及其他必要的解题过程，进行求解。[例2]如图所示，物体在离斜面底端5m处由静止开始下滑，然后滑上由小圆弧与斜面连接的水平面上，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37º。求物体能在水平面上滑行多远。[思路分析]物体在斜面上受重力mg、支持力FN1、动摩擦力f1的作用，沿斜面加速下滑（因μ=0.4ta=0.75），直到静止。解法一对物体在斜面上和水平面上时受力分析如图所示，知物体下滑阶段FN1=mgcos37º故f1=μFN1=μmgcos37º由动能定理得mgsin37º·l1-μmgcos37º·l1=mv12/2①在水平面上运动过程中f2=μFN2=μmg由动能定理得37°mgf1f1FN1mgf2FN2-μmg·l2=0-mv12/2②由①、②两式可得l=（sin37º-μmgcos37º）·l1/μ=（0.6-0.4×0.8×5）m/0.4=3.5m解法二物体受力分析同上物体运动的全过程中，初、末状态的速度均为零，对全过程运用动能定理有mgsin37º·l1-μmgcos37º·l1-μmg·l2=0得l2=（sin37º-μcos37º）·l1/μ=（0.6-0.4×0.8×5）m/0.4=3.5m[答案]3.5m[总结]应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动过程中变化的细节，只需考虑整个过程中的功及过程始末的动能。若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑。若不涉及中间过程量时，用整个过程分析比较简单。但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待，求出总功、计算时要把各力的功连同符号（正、负）一同代入公式。[变式训练2]一质量为1.0kg的物体，以4m/s的速度在光滑的水平面上向左滑行，从某一时刻起对物体施以一水平向右的恒力，经过一段时间，物体的速度方向变为向右，大小仍为4m/s，则在这段时间内水平力对物体所做的功为（）A．0B．-8JC．-16JD．-32J[答案]A[难点解析]动能定理的综合应用性问题[例3]图中ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD是水平的。BC是与AB和CD都相切的一小段圆弧，其长度可以忽略不计。一质量为m的小滑块在A点从静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在D点，A点和D点位置如图所示。现用一沿着轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由D点推回A点停下，设轨道与滑块间的动摩擦因数为μ，则推力对滑块做的功等于（）A．mghB．2mghC．μmg（l+h/sinθ）D．μmgl+μmghcotθ[思路分析]对全过程应用动能定理。滑块从A滑到D，初、末态动能都为零。由动能定理，有mgh-Wf=0①推力F把滑块从D推到A过程做功WF，重力做功为-mgh，摩擦力做功仍为Wf，初、末动能仍为零。WF-mgh-Wf=0②把①代入②中，得WF=2mgh。故B选项正确。[答案]B[总结]在题中不涉及中间物理量的情况下，全过程应用动能定理较为方便。θABCDlh[变式训练3]以初速度v1竖直上抛一个质量为m的物体，物体落回到抛出点时的速度大小为v2，如果物体在上升和下降过程中受到的空气阻力大小恒定，即大小相等，求物体能上升的最大高度[答案]H=（v12+v22）/4g[难点精析2]利用动能定理求变力的功[例4]如图所示，某人用定滑轮吊起一质量为1的物体，绳子长为L,每单位长的质量为m2,试求此人将物体从地面吊至高度为L的过程中至少应做多少功?[思路分析]因绳子有质量，则拉物体上升过程中的拉力变化,属变力做功情况.欲使人做功最小,须使物体m1到达高度为L处时速度为零,则动能改变量ΔEK=0,可设绳子全部质量集中于重心上，则m1上升L时,绳子重心上升到L/2,有动能定理得：Wmin－m2gl·L/2－m1gl=ΔEK=0Wmin=m1gl+m2gl2/2[答案]Wmin=m1gl+m2gl2/2[方法总结]当物体受力有变力时，其它的力所做的功和物体动能改变量都比较容易求得时，用动能定理求变力的功。[误区警示]计算绳子的重力做功时，要用重心上升高度L/2而不能认为上升高度为L。[变式训练4]一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F的作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为（）A．mglcosθB．mgL（1－cosθ）C．FlcosθD．Flcosθ[答案]B[难点精析3]动能定理与功率问题综合[例5]质量为5t的汽车，在平直公路上以60kW恒定的功率从静止开始启动，速度达到24m/s的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m。运动过程中汽车所受的阻力不变，求汽车运动的时间。[思路分析]汽车以恒定功率启动后的加速过程是加速度不断减小的变加速运动过程，因此不能利用匀变速运动的功率来求加速运动的时间，但可以利用动能定理来计算。在汽车运动的全过程中，有两个力对物体做了功，牵引力做的功为Pt1阻力做功为-Ffs，由动能定理得：Pt1－Ffs=0①当汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则有：P=FvMAX=FfvMAX②由①②两式联立可得：汽车加速运动的时间应为：LFTm1PQFOθt1=Ffl/P=l/vMAX=1200s/24=50s关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律及匀变速直线运动公式可得：a=Ff/m=P/（vMAX·m）③t2=vMAX/a④由③④两式联立可求得汽车匀减速所用的时间为：t2=m·vMAX2/P=5×103×242/（60×103）=48s则汽车在全程运动的时间为：t=t1＋t2=50s+48s=98s[答案]t=98s[总结]当变力做功，而力的功率恒定时可考虑由W=Pt求变力做功。在实际生活中往往会遇到变力做功的情况，在计算变力所做的功时应注意利用适当的功的表达式。本题考查的是利用功率公式求汽车运动时间的情况。对于较为复杂的物理过程，首先分析清楚物体在各个阶段的运动特点，明确各物理量间的关系，再利用合适的物理规律求解。特别是对求物体受到的力做功时，切不可主观臆断，直接利用恒力做功公式求功。[变式训练5]一列火车由机车牵引沿水平轨道行使，经过时间t，其速度由0增大到v，已知列车总质量为M，机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力。求这段时间内列车通过的路程。[答案]（Pt-mv2/2）/f[难点精析4]动能定理在流体问题中的运用[例6]新疆达坂城风口风速约为v=20m/s，设该地区空气密度ρ=1.4kg/m3，若把通过横截面积为S=20m2的风的动能全部转化为电能，则该处风力发电站的发电功率为多大？[思路分析]取很短一段时间Δt内的空气作为研究对象，则这段时间内空气的质量为m=ρΔv=ρsvΔt，这些空气的动能为EK=mv2/2=ρsv3Δt，由题知动能全部转化为电能，EK=E电，所以发电功率为P=E电/Δt=ρsv3/2，代入数据得P=1.12×105W。[答案]1.12×105W[总结]在生活、生产、科技实践中，经常会遇到这样的问题，例如水轮机发电、风力发电、火箭喷气、血液流动等，称为连续流体问题。在处理这类问题时，我们不便于取整体为研究对象，通常是取很短一段时间内的质量Δm作为研究对象，将其看成质点，再进行分析讨论，这是解答此类问题的技巧。[变式训练6]太阳能烟囱式热力发电原理如图所示，像种蔬菜大棚一样的太阳能集热棚将太阳能收集起来，对空气加热，热空气进入烟囱，由于烟囱内热空气的压强大于外界的大气压，在烟囱中就会形成强大的热气流，推动安置在烟囱底部的空气涡轮发电机发电。已知太阳每平方米的辐射功率为P0,太阳集热棚的面积为S0,烟囱内部的半径为R,烟囱底部与外界冷空气的压强差为Δp,烟囱内热空气的密度为ρ,热空气的动能转化为电能的效率为η,不考虑发电过程中空气温度的变化.(1)求烟囱热空气的流速;(2)求发电机的发电功率[答案](1)v=P0S0/ΔpπR2(2)P电=ρP03S03η/2Δp3π2R4[难点精析5]动能定理在往复式运动中的运用[例7]如图所示,AB与CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面两端相切,圆弧圆心角为120˚,半径R为2.0cm,一个