河北省唐山市2015届高三9月模拟考试数学(理)试题

河北唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试数学（理）试题说明：1．本试卷分为第I卷和第II卷，第I卷为选择题；第II卷为非选择题，分为必考和选考两部分．2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．4．考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知集合M={x|x≥-1}，N={x|2－x2≥0}，则MN=A．,1B．2,1C．,2D．,12,2．复数iiz2131，则A．z=2B．z的实部为lC．z的虚部为-iD．z的共轭复数为-1+i3．函数222)(xxxf是A．偶函数，在（0，+）是增函数B．奇函数，在（0，+）是增函数C．偶函数，在（0，+）是减函数D．奇函数，在（0，+）是减函数4．抛物线y=2ax2（a≠0）的焦点是A．0,2aB．0,2a或0,2aC．a81,0D．a81,0或a81,05．已知sin4=41,则sin2x的值为A．87B．169C．1615D．16156．高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为A．31B．32C．21D．617．设向量a，b满足1baba，则)(Rttba的最小值A．23B．21C．1D．28．已知a0，x，y满足约束条件)3(31xayyxx，且z=2x+y的最小值为1，则a=A．lB．2C．41D．219．执行如图所示的程序框图，则输出的a=A．5B．45C．41D．5410．将函数f（x）=sinx（其中0）的图象向左平移2个单位长度，所得图象关于6x对称，则的最小值是A．6B．32C．49D．4311．已知a0，且a≠l，则函数f（x）=ax+（x－l）2－2a的零点个数为A．1B．2C．3D．与a有关12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为A．5B．12C．20D．8第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．（yx2）8的展开式中x6y2项的系数是。14．实数x，y'满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是____．15．已知双曲线C：2222byax=1（x0，b0）的一条渐近线与直线l：x+3y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为。16．在△ABC中，AB=2，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=10103，cos∠C=552，则AC+BC=。三、解答题：本大题共70分，其中17—21题为必考题，22，23，24题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn=kn（n+l）－n（k∈R），公差d为2．（I）求an与k；（II）若数列{bn}满足bl=2，bn－bn－1=n·2na（n≥2），求bn．18．（本小题满分12分）某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都被随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目（每名大学生只参加一个项目的服务）．（I）求5名大学生中恰有2名被分到体操项目的概率；（II）设X，Y分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记YX，求随机变量的分布列与数学期望E（）．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点．（I）求证：A1B∥平面ADCl；（II）若AB⊥AC，AB=AC=1，AAl=2，求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．（本小题满分12分）椭圆C：2222byax=l（ab0）的离心率为53，P（m，0）为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为54的直线l交C于A，B两点，当m=0时，PA·PB=241．（I）求C的方程。（II）证明：|PA|2+|PB|2为定值．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=2ex－ax－2（a∈R）．（I）讨论函数的单调性；（II）若f（x）≥0恒成立，证明：x1x2时，)1(2)()(11212xexxxfxf．[来源:学,科,网]请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．（I）求证：AT2=BT·AD;（II）E，F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，已知曲线C：sin2=2acos（a0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为tytx224222，（t为参数），l与C分别交于M，N．（I）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（II）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数f（x）=mxmx4（m0）．（I）证明：f（x）≥4；（II）若f（2）5，求m的取值范围。[来源:学科网ZXXK]参考答案一、选择题：A卷：CDBCAAADCDBAB卷：ADBCCABDDCBB二、填空题：（13）56（14）6（15）x2－y23＝1（16）3＋5三、解答题：（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设得a1＝S1＝2k－1，a2＝S2－S1＝4k－1，[来源:Zxxk.Com]由a2－a1＝2得k＝1，则a1＝1，an＝a1＋（n－1）d＝2n－1．…4分（Ⅱ）bn＝bn－1＋n·2an＝bn－2＋（n－1）·2an－1＋n·2an＝b1＋2×2a2＋3×2a3＋…＋（n－1）·2an－1＋n·2an由（Ⅰ）知2an＝22n－1，又因为b1＝2，所以bn＝1×21＋2×23＋3×25＋…＋（n－1）×22n－3＋n×22n－1，[来源:学+科+网Z+X+X+K]4bn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋（n－1）×22n－1＋n×22n＋1，…7分所以－3bn＝21＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1＝2(1－4n)1－4－2n·4n，所以bn＝2(1－4n)9＋23n4n＝2[(3n－1)·4n＋1]9．…11分明显，n＝1时，也成立．综上所述，bn＝2[(3n－1)·4n＋1]9．…12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，（i＝0，1，2，3，4，5），则P（A2）＝C25C3325＝516．…4分（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．P（ξ＝1）＝P（A2＋A3）＝P（A2）＋P（A3）＝C25C3325＋C35C2225＝58；P（ξ＝3）＝P（A1＋A4）＝P（A1）＋P（A4）＝C15C4425＋C45C1125＝516；P（ξ＝5）＝P（A1＋A4）＝P（A0）＋P（A5）＝C05C5525＋C5525＝116．则随机变量ξ的分布列为ξ135P58516116…10分则ξ的数学期望E（ξ）＝1×58＋3×516＋5×116＝158．…12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，则点E是A1C及AC1的中点．连接DE，则DE∥A1B．因为DE平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…4分（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A－xyz．则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，2）D（12，12，0），AD→＝（12，12，0），AC1→＝（0，1，2）．…6分设平面ADC1的法向量m＝（x，y，z），则A1B1C1ABCDExyz12x＋12y＝0，y＋2z＝0，不妨取m＝（2，－2，1）．…9分易得平面ABA1的一个法向量n＝AC→＝（0，1，0）．…10分cosm，n＝m·n|m||n|＝23，平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值是53．…12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为离心率为35，所以ba＝45．当m＝0时，l的方程为y＝45x，代入x2a2＋y2b2＝1并整理得x2＝a22．…2分设A（x0，y0），则B（－x0，－y0），PA→·PB→＝－x02－y02＝－4125x02＝－4125·a22．又因为PA→·PB→＝－412，所以a2＝25，b2＝16，椭圆C的方程为x225＋y216＝1．…5分（Ⅱ）l的方程为x＝54y＋m，代入x225＋y216＝1并整理得25y2＋20my＋8（m2－25）＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则|PA|2＝（x1－m）2＋y12＝4116y12，同理|PB|2＝4116y22．…8分则|PA|2＋|PB|2＝4116（y12＋y22）＝4116[（y1＋y2）2－2y1y2]＝4116[（－4m5）2－16(m2－25)25]＝41．所以，|PA|2＋|PB|2是定值．…12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f（x）＝2ex－a．若a≤0，则f（x）＞0，f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增；若a＞0，则当x∈（－∞，lna2）时，f（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（lna2，＋∞）时，f（x）＞0，f（x）单调递增．…4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知若a≤0，f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增，又f（0）＝0，故f（x）≥0不恒成立．若a＞0，则由f（x）≥0＝f（0）知0应为极小值点，即lna2＝0，所以a＝2，且ex－1≥x，当且仅当x＝0时，取“＝”．…7分当x1＜x2时，f（x2）－f（x1）＝2（ex2－ex1）－2（x2－x1）＝2ex1（ex2－x1－1）－2（x2－x1）≥2ex1（x2－x1）－2（x2－x1）＝2（ex1－1）（x2－x1），所以f(x2)－f(x1)x2－x1＞2（ex1－1）．…12分注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：（Ⅰ）证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT．又AT2＝ABAD，所以AT2＝BTAD．…4分（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．所以∠ABT＝∠DBT＝90．所以∠A＝∠ATB＝45．…10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x－y－2＝0．…4分（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2－2（4＋a）2t＋8（4＋a）＝0（*）△＝8a（4＋a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．由题设得（t1－t2）2＝|t1t2|，即（t1＋t2）2－4t1t2＝|t1t2|．MFEDABTC由（*）得t1＋t2＝2（4＋a）2，t1t2＝8（4＋a）＞0，则有（4＋a）2－5（4＋a）＝0，得a＝1，或a＝－4．因为a＞0，所以a＝1．…10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：[来源:学。科。网]（Ⅰ）由m＞0，有f（x）＝|x－4m|＋|x＋m|≥|－（x－4m）＋x＋m|＝4m＋m≥4，