搜索
河北省唐山市2015届高三摸底考试数学（理）试题【试卷综析】本试卷是高三摸底考试理工类数学试卷，目的是对升入高三的学生的学习情况做一个了解。其命题模式与高考保持一致，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，知识考查注重基础、注重常规，但也有综合性较强的问题。试题分必做和选作两个部分，必做部分试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量等；选作部分考察几何证明、坐标系与参数方程、不等式选讲，都是常规题目。试卷涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论，数形结合等。试卷比较适合刚刚升入高三的学生使用。说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两个部分.2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.4．考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、已知集合M＝{x|x≥－1}，N＝{x|2－x2≥0}，则M∪N＝()A.[－1，＋∞)B.[－1，2]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]∪[－1，＋∞)【知识点】集合的运算A1【答案解析】C解析：22022Nxxxx，所以2MNxx，故答案为：C【思路点拨】解不等式220x，得集合N，再根据并集的定义求MN即可，必要时可借助数轴辅助运算。2、复数1312izi，则()A.|z|＝2B.z的实部为1C.z的虚部为－iD.z的共轭复数为－1＋i【知识点】复数的相关概念和运算L4【答案解析】D解析：13(13)(12)55112(12)(12)5iiiiziiii，22(1)(1)2z，故A错误；z的实部为-1，故B错误；z的虚部为-1，不是i，故C错误；根据共轭复数的定义，复数abi的共轭复数为abi，故D正确，故选：D【思路点拨】利用复数的除法运算化简复数z，然后根据复数的相关概念进行判断即可。3、函数22()2xxfx是()A.偶函数，在(0，＋∞)是增函数B.奇函数，在(0，＋∞)是增函数C.偶函数，在(0，＋∞)是减函数D.奇函数，在(0，＋∞)是减函数【知识点】函数的奇偶性和单调性；指数函数的性质B3B4B6【答案解析】B解析：函数()fx的定义域为R，22()()2xxfxfx，所以函数为奇函数；函数()2xfx是增函数，()2xfx是减函数，所以()22xxfx是增函数，则22()2xxfx也是增函数，故选：B【思路点拨】由函数奇偶性的定义可以判断函数为奇函数，而指数函数()2xfx是增函数，()2xfx是减函数，可以判断22()2xxfx是增函数。4、抛物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是()A.(2a，0)B.(2a，0)或(－2a，0)C.(0，18a)D.(0，18a)或(0，－18a)【知识点】抛物线的几何性质H7【答案解析】C解析：抛物线的方程化成标准形式为：21(0)2xyaa，其焦点在y轴上，所以焦点坐标为1(0,)8a，故答案为：C【思路点拨】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标。5、已知1sin44x，则sin2x的值为()A.78B.916C.1516D.1516【知识点】差角公式；二倍角公式；同角三角函数基本关系式C2C5C6【答案解析】A解析：221sinsincoscossincossin444224xxxxx，124cossin422xx，两边平方得：221cossin2sincos1sin28xxxxx，7sin28x，故选：A【思路点拨】把已知的式子用差角公式展开、化简，可得到cossinxx的值，两边平方再结合二倍角公式和同角三角函数基本关系式，即可计算出sin2x的值。6、高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为()A.13B.23C.12D.16【知识点】条件概率K2【答案解析】A解析：4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有：（甲乙丙丁）、（甲乙丁丙）、（丙甲乙丁）、（丙丁甲乙）、（丁甲乙丙）、（丁丙甲乙）、（乙甲丙丁）、（乙甲丁丙）、（丙乙甲丁）、（丙丁乙甲）、（丁乙甲丙）、（丁丙乙甲），共计12种，其中甲丙相邻的有：（丙甲乙丁）、（丁丙甲乙）、（乙甲丙丁）、（丁乙甲丙）、有4种，∴甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为：41123p，故选：A【思路点拨】用列举法列出4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况，找出甲丙相邻，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率。7、设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为()A.32B.12C.1D.2【知识点】向量的模的计算；二次函数的最值F3B5【答案解析】A解析：由已知得：2222221ababaabbab，21ab222222132124atbatbatabtbttt，当12t时，atb有最小值3342，故选：A【思路点拨】由已知结合向量的模长计算公式、性质对1ab进行化简，可得出21ab，代入atb中，则21atbtt，再利用配方法求其最值即可。8、已知a＞0，x，y满足约束条件13(3)xxyyax，且2zxy的最小值为1，则a＝()A.1B.2C.14D.12【知识点】简单的线性规划E5【答案解析】D解析：直线(3)yax的斜率为正数，经过定点(3,0)，画出可行域如图：由2zxy，得2yxz，表示斜率为2，在y轴上的截距为z的直线系，平移直线2yxz，当其经过可行域内的点B时，截距最小，z最小，由121xxy，得点(1,1)B，代入(3)yax可得：12a，故选：D【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，由2zxy，得z的几何意义是直线的斜率，平移直线z=2x+y，当过可行域内的点B时取得最小值，解出点B的坐标，从而得到a值即可。9、执行如图所示的程序框图，则输出的a＝()A.5B.54C.14D.45【知识点】含循环结构的程序框图L1【答案解析】C解析：第一次循环：，11514b，5ab，112n，29成立，进入下一次循环；第二次循环：，14155b，45ab，213n，39成立，进入下一次循环；第三次循环：，111445b，14ab，314n，49成立，进入下一次循环；第四次循环：，11514b，5ab，415n，59成立，进入下一次循环；从这里可以看出，循环具有周期性，周期为3，循环结束时，10n，循环进行了9次，输出的a的值与第三次循环一样，所以14a，故选：C【思路点拨】按照框图中流程线的流向判断循环是否需要进行，写出每次循环的结果，不难得出最后的结果。10、将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移2个单位长度，所得图象关于6x对称，则ω的最小值是()A.6B.23C.94D.32【知识点】函数sin()yAx的性质C4【答案解析】D解析：将函数()sinfxx的图像向右平移2个单位后，可得到函数()sin()sin()22fxxx的图像，又因为所得图像关于6x对称，所以()622kkZ，即33,2kkZ，ω＞0，所以当1k时，取最小值32，故选：D【思路点拨】由条件根据函数sin()yAx的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得()622kkZ，即33,2kkZ，由此可计算出取最小值。11、已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零点个数为()A.1B.2C.3D.与a有关【知识点】函数的零点；指数函数、二次函数B5B6B9【答案解析】B解析：由2()(1)20xfxaxa，得2(1)2xaxa，设xya，这是一个指数函数，2(1)2yxa，这是一个二次函数，其对称轴为1x，开口向下，最大值为2a，与y轴交点的纵坐标为21a，当1a时，作出两个函数的图像（如图中的红线部分），显然此时两个函数的图像有两个交点，即函数()fx有两个零点；当01a时，作出两个函数的图像（如图中的黑线部分），显然此时两个函数的图像也有两个交点，即函数()fx有两个零点；综上，函数()fx恒有两个零点，故选：B【思路点拨】把函数的零点转化成两个简单函数的交点，在同一个坐标系内作出两个函数的图像，利用数形结合法观察两个函数交点的情况即可。因为a的值不定，故要分类讨论。12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为()A.5πB.12πC.20πD.8π【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积G1G2【答案解析】A解析：由三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，把它扩展为长方体，则长、宽、高分别为1，1，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为：1135，所以球的半径为：52R，这个几何体的外接球的表面积是：254()52，故选：A【思路点拨】三视图表示的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥。把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、8(2)xy的展开式中62xy的系数是___________.【知识点】二项式定理J3【答案解析】56解析：8(2)xy的展开式的通项为：88188(2)(2)rrrrrrrrTCxyCxy，当2r时，可得62xy的系数为：2228822(2)256ACA，故答案为：56【思路点拨】写出8(2)xy的展开式的通项，当2r时，就得到含62xy的项，再求其系数即可。14、实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________________.【知识点】基本不等式；指数的运算B6E6【答案解析】6解析：利用基本不等式可得：222393323323xyxxxyxy22xy，223923236xyxy，当且仅当233xy，即11,24xy时，取等号，故答案为：6【思路点拨】利用基本不等式和指数的运算性质即可得出结论。15、已知双曲线C：22221xyab(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：30xy垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【知识点】直线的位置关系和距离公式；双曲线的标准方程和性质H2H6【答案解析】2213yx解析：双曲线的一条渐近线与直线l：30xy垂直，双曲线的渐近线的斜率为3，则3ba，①由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(,0)c，根据点到直线的距离公式，则12c，2c，即224ab，②，联立①②，解得221,3ab，所以双曲线的标准方程为：2213yx，故答案为：2213yx【思路点拨】求双曲线的标准方程即求参数,ab。根据已知可求出渐近线的斜率，得到一个关于,ab的方程，再利用点到直线的距离公式结合双曲线的性质得到另外一个关于,ab的方程，联立两个方程，解出参数,ab即可。16、在△ABC中，2AB，点D在边B