河北科技大学线性代数考试题

-1-河北科技大学2009——2010学年第1学期《线性代数》期末考试试题(A)一填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置)1.若12312,,,,均为4维列向量，且1231,,,m，1223,,,n，则31221,,,．2.设2023A，则AA．3.设n阶方阵3.2维向量空间2的基TT12(1,0),(1,1)到基T1(1,0),T2(0,1)的过渡矩阵为．4.若n元齐次线性方程组0Ax的基础解系含有1个解向量，则()RA．5.已知3阶矩阵A的特征值为1,1,2，则2AAE．6.设矩阵001010100A，则二次型T123(,,)fxxxxAx的规范形为．二选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确选项前的字母填在答题纸指定位置)1.设A为45矩阵，()4RA，B为42矩阵，则下列命题中正确的是()(A)TT0AxB只有零解(B)(,)0ABx只有零解(C)对于任意7维列向量b，TTAxbB有惟一解(D)对于任意4维列向量b，(,)ABxb有惟一解2.向量组12,,,s(2s)线性无关的充分必要条件是()(A)12,,,s中没有零向量(B)12,,,s中任意1s个向量线性无关(C)12,,,s中任意两个向量的分量不成比例-2-(D)12,,,s中任意一个向量均不能由其余1s个向量线性表示3.设A为(2)nn阶方阵,且2AE，则下列命题正确的是（）(A)1A(B)1AE(C)()RAn(D)A的特征值均为14.设,AB均是n阶矩阵，且A可逆，则()(A)ABBA(B)()RBn(C)AB与BA相似(D)0A5.设TT12(1,0,0),(0,0,1)，向量可由12,线性表示，则向量为()(A)T(1,2,1)(B)T(0,2,1)(C)T(3,0,4)(D)T(1,3,0)三计算题(共50分，请将解答写在答题纸指定位置，应写出必要的计算过程)1.(本小题10分)已知两个非齐次线性方程组(I)124123412326,41,33.xxxxxxxxxx(II)1234234345,211,21.xaxxxbxxxxxc(1)求方程组(I)的通解；(2)当,,abc取何值时，方程组(I)与(II)同解.2.(本小题15分)设矩阵211020413A,求可逆阵P及对角阵，使得1PAP．3.(本小题10分)计算n阶行列式001000000100naaDaa.4.(本小题10分)设130210002B，且满足ABAB，求A.5.(本小题5分)设向量组TTT123(1,1,0,0),(1,2,1,1),(0,1,1,1),T4(1,3,2,1)，求向量组1234,,,的秩和一个最大无关组．四证明题(共6分，请将证明写在答题纸指定位置，应写出主要的证明过程)设A是元素全为1的n阶方阵(1n)，证明11()1EAEAn.-3-一填空题(每小题4分，共24分)(1)mn．(2)6006．(3)1101．(4)1.(5)150.(6)222123yyy.二选择题(每小题4分，共20分)(1)A(2)D(3)C(4)C(5)C三计算题(共50分)(1)(本小题10分)解(1)方程组(I)的增广矩阵110264111131103B~100120101400125,得(I)的通解TT(1,1,2,1)(2,4,5,0)xc(c).…………………6分(2)将T(2,4,5,0)代入(II)得2,4,6abc.…………………4分(2)(本小题15分)解2(2)(1)AE，得特征值1231,2.…6分当11时,解()0AEx得T1(1,0,1).当232时,解(2)0AEx得T2(0,1,1),T3(1,0,4).……6分令123(,,)P，则P可逆，且1122PAP为对角矩阵.…3分(3)(本小题10分)解按第1列展开得1110000001000000(1)000000000000nnnnaaaDaaaaa…………………5分111222(1)(1)(1)nnnnnaaaa.……………………………5分(4)(本小题10分)解由已知得()ABEB，所以1()ABBE.…………4分而11002()1003001BE，故11021103002A.…………………………6分(5)(本小题5分)解因为-4-123411011213(,,,)01120111~1101011200030000.………………3分所以1234(,,,)3R.124,,为一个最大无关组.…………2分四证明题(共6分)证明由题意，2AnA.于是211()()111nEAEAEAAEnnn，…………4分故11()1EAEAn.…………………………………2分