河北职业技术师范学院教案编号10

河北科技师范学院教案编号10学年度第学期系（部）数理系教研室数学任课教师课程名称线性代数授课章节：第四章第二节向量组的线性相关性（续）第三节向量组的秩授课班级授课日期课题第四章第二节向量组的线性相关性第三节向量组的秩时数2教学目的及要求使学生掌握向量组的线性相关性的判断及向量组之间的线性表达形式。教学重点向量组的线性相关性的判断及向量组之间的线性表达形式难点向量组的线性相关性与向量组的线性表示之间的关系教法、教具讲授法课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等）时间分配（一）回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。（二）引入新课。第四章第二节向量组的线性相关性（续）n维向量组的线性相关性的定理定理3.2如果向量组s,,,21中有一部分向量线性相关，那么该向量组一定线性相关。推论1若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。推论2若向量组s,,,21线性无关，则它的任意一个部分组也一定线性无关。定理3.3设),,,,(),,,,(12121iririiiiriiiaaaaaaa，mi,,2,1。若r维向量组m,,,21线性无关，则r+1维向量组m,,,21也线性无关。推论r维向量组的每个向量添加上n-r分量，成为n维向量组。若r维向量组线性无关，则n维向量组也一定线性无关；反之，若n维向量组线性相关，则r维向量组也线性相关。定理3.4设有n个n维向量组),,,(21iniiiaaa，则n,,,21线性无关的充分必要条件为0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD。定理3.5如果向量组,,,,21r线性相关，而r,,,21线性无关，则向量组可由向量组r,,,21线性表示，且表示法唯一。提示：该定理的证明法典型，体现了一种证明题的思路。证明：先证向量可由向量组r,,,21线性表示；再证表示法唯一。即设有两种表示法，按定理假设推出两种表示法的系数相等即可。第三节向量组的秩3.3.1向量组之间的线性关系定义（等价）对于给定的两个向量组（Ⅰ）r,,,21，（Ⅱ）s,,,21如果向量组（Ⅰ）中的每个向量都可由向量组（Ⅱ）中的向量线性表示，则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，如果向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）可以相互线性表示，则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价。向量组的等价关系具有如下三个性质（1）自反性：任意一个向量组都与自身等价；（2）对称性：如果（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，则向量组（Ⅱ）与（Ⅰ）等价。（3）传递性：如果（Ⅰ）~（Ⅱ），（Ⅱ）~（Ⅲ），则（Ⅰ）~（Ⅲ）。定理3.6如果向量组r,,,21线性无关，并且可以由向量组s,,,21线性表示，则必有sr。推论1如果向量组r,,,21可以由向量组s,,,21线性表示，而且sr，那么r,,,21必定线性无关。推论2两个线性无关的等价向量组所含有的向量个数必定相等。推论3任意含有n+1个n维向量的向量组必定线性相关。例1向量组)7,5(),2,3(),3,2(321一定线性相关，但其中任意两个向量都线性无关。例2判断向量组)1,0,1,0(),1,1,0,0(),0,1,0,1(),0,0,1,1(4321的线性相关性，如线性相关，写出线性表达形式。解：设存在四个实数4321,,,kkkk，使044332211kkkk，即000043324121kkkkkkkk，解得1,1,1,14321kkkk。所以线性表达式为3214。思考题：P969（三）总结所将讲主要内容（四）布置作业作业参考文献作业P96习题五6、7参考文献同前课后小结教研室主任（签字）：