河北职业技术师范学院教案编号12

河北科技师范学院教案编号12学年度第学期系（部）数理系教研室数学任课教师课程名称概率统计授课章节：第三章多维随机变量及其分布第七节二维随机变量函数的分布本章习题课授课班级授课日期课题二维随机变量函数的分布本章习题课时数2教学目的及要求使学生熟练掌握二维随机变量函数的分布，总结本章内容，进行典型习题分析教学重点二维随机变量函数的分布，总结本章内容，进行习题分析难点二维连续型随机变量函数的分布密度的求解教法、教具讲授法课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等）时间分配（一）回忆二维随机变量的边沿分布和事件的独立性的判断（二）新课第七节二维随机变量函数的分布上一章最后讨论了一个随机变量函数的分布，本节讨论两个随机变量函数的分布．对于一个多维随机变量，当其分布已知时，可以求其函数的分布．下面只就具体的函数来讨论．主要对连续型随机变量来进行讨论．求函数YXZ,的概率密度的方法与第二章一样，用“分布函数法”来求，即首先求Z的分布函数，然后利用分布函数与概率密度函数之间的关系，求得Z的概率密度．也就是说，如果已知随机变量YX,的概率密度yxp,，要求函数YXZ,的概率密度，先利用下式求函数Z的分布函数zFZ：ZYXZdxdyyxpzYXPzZPzF,,,，然后导出函数Z的概率密度函数zpZ．下面我们来求YXZ的分布．设二维随机变量YX,的概率密度为yxp,，试求随机变量YXZ的概率密度函数zPZ．下面我们来求YXZ的分布．设二维随机变量YX,的概率密度为yxp,，试求随机变量YXZ的概率密度函数zPZ．先求YXZ的分布函数zFZ．显然有ZYXZdxdyyxpzYXPzZPzF,,这里积分区域zyxD:是直线zyx左下方的半平面(如图3-4)．化成累次积分，得dxyxpdyzFyzZ,，固定z和y对积分dxyxpyz,作变量代换，令yux，得duyyupdxyxpzyz,,．于是，dyyyupduduyyupdyzFzzZ,,．由概率密度函数的定义，即得Z的概率密度为.,dyyyzpzpZ(3.9)由YX,的对称性，zpZ又可写成.,dxxzxpzpZ(3.10)(3.9)、(3.10)是两个随机变量和的概率密度的一般公式．特别，当YX,相互独立时，设YX,关于YX,的边沿概率密度分别为yPxPYX,，则(3.9)，(3.10)式分别化为dyypyzpzpYXZ；(3.11)dxxzpxpzpYXZ，(3.12)这两个公式称为卷积公式，记为YXff，即dyypyzpffYXYXdxxzpxpYX．例2设YX,相互独立，且都服从标准正态分布，求YXZ的概率密度函数．解由卷积公式,212122222422dxeedxeedxxzpxpzpzxzxzxYXZ令2zxt得4442222212121zztzZeedteezp即Z~2,0N分布．一般地，设YX,相互独立，且X～211,N，Y～222,N．由(3.12)式经过计算知YXZ仍然服从正态分布，且有Z～222121,N．这个结论可以推广到n个独立的正态随机变量之和的情况．即若：iX～2,iiN（,2,1i）且它们相互独立，则它们的和nXXXZ21仍然服从正态分布，且有Z～2222121,nnN．更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布．本章习题课1．总结主要内容（1）二维随机变量分布函数的概念和性质；（2）二维离散型随机变量的概念和概率分布律的性质；（3）二维连续型随机变量的概念和概率分布密度的性质；（4）边沿分布；（5）随机变量独立性判断的充要条件；（6）二维随机变量函数的分布；（7）独立正态分布的可加性的结论。2．典型例题分析例1．若YX,的概率分布为YX,1,12,13,11,22,23,2p619118131则,取什么值时，X，Y相互独立．例2．YX,相互独立，X在(0，1)上服从均匀分布，Y的概率密度为.0,0,0,212yyeypyY(1)求X和Y的联合概率密度；(2)设有关于a的二次方程022YXaa，试求a有实根的概率．例3．（1991年考研题）随机变量YX,的概率密度函数为.,0,0,0,2,2其它yxeyxPyx求随机变量YXZ2的分布函数．例4．（1998年考研题）设平面区域D由曲线xy1及2,1,0exxy所围，二维随机变量),(YX在区域D上服从均匀分布，求),(YX关于X的边缘概率密度在2x处的值．作业参考文献作业参考文献同上课后小结教研室主任（签字）：