河北职业技术师范学院教案编号16

河北科技师范学院教案编号16学年度第学期系（部）数理系教研室数学任课教师课程名称线性代数授课章节：第五章二次型第一节二次型及其矩阵表示第二节用满秩变换化二次型为标准形授课班级授课日期课题第一节二次型及其标准型第二节用满秩变换化二次型为标准形时数2教学目的及要求使学生掌握二次型、二次型的秩、二次型的标准型的概念、合同变换和合同矩阵的概念和有关结论。教学重点二次型、二次型的秩、二次型的标准型、合同变换和合同矩阵的概念和有关结论。难点二次型的表示的推导。教法、教具讲授法课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等）时间分配（一）回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。（二）引入新课。第一节二次型及其标准型1．二次型的概念、矩阵表示及其秩定义311321122222221112122),,,(xxaxxaxaxaxaxxxfnnnn+nnnnxxa1,12（5.1）称为变量nxx,,1的二次型。若取jiijaa，则jinjiijxxaf1,；若经变换yCx使2211nnykykf，称之为二次型的标准型（法式）。给出实二次型和复二次型的概念，并指出我们只讨论实二次型。若记nnijaA)(，则（5.1）可表示为xAxfT，其中AAT，（例：写出yzxyzxzyxf43),,(22的矩阵表示），f与A一一对应，称A为f的矩阵，称)(AR为f的秩。2．二次型的标准化记nnijcC)(，做yCx成为xAxfT=yACCyTT)(。3．合同变换和合同矩阵定义：设A，B是n阶矩阵，如果存在n阶满秩矩阵P，使得APPB1，则称A和B是合同的，称满秩矩阵P为合同变换矩阵。例1对任意可逆阵C，ACCBT是对称阵，证明)()(BRAR。要使)(xf经可逆变换（7）化为标准型)(ygyACCyTT)(=2211nnykyk，找可逆阵C使),,(1nTkkdiagACC。由第四节的定理8，有结论：总存在满秩变换yPx，使（5.1）化为标准型)(xf=)(yg2211nnyy，其中n,,1是f的阵A的特征值。第二节用满秩变换化二次型为标准形5.2.1初等变换法1．合同变换法对对称矩阵A，寻找可逆矩阵P，使)0,,0,,,,(211rcccdiagAPP。由于P是满秩矩阵，所以P可以表示成有限个初等矩阵之积。设mFFFP21，这里每个iF对应的一次初等变换，此时mmFFPFFFFAPP21111211，下面说明1iF恰好对应与iF相应的初等行变换，而iF是初等列变换。具体说有下列三种情况：（1）对调第i列与第j列，在对调第i行与第j行；（2）用数0乘以矩阵的第i列，再将0乘以矩阵的第i行；（3）将第i列的倍加到第j列上，再将第i行的倍加到第j行上。显然，实施上述三套初等变换中的任何一套，矩阵的对称性不变。例1将3221A用合同变换化成对角阵（三）总结本次课所讲主要内容及布置作业作业参考文献作业P151：Ex2，3，4。参考文献同前课后小结教研室主任（签字）：