河南省南阳市2013届高三年级上学期期终质量评估理科数学试题

·1·南阳市2013届高三年级期终质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P＝｛x｜22x＋5x＜0,x∈Z｝，Q＝{0，a}，若P∩Q≠，则a等于A．－1B．2C．－1或2D．－1或－22．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝A．－8B．8C．－4D．43．已知函数f（x）＝2－｜x｜，则21()fxdx＝A．3B．4C．3．5D．4．54．若1()nxx＋展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于A．8B．16C．80D．705．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A．2或22B．－2或－22C．22或－22D．2或－226．在同一坐标系下，直线ax＋by＝ab和圆2()xa－＋2()yb－＝2r（ab≠0，r＞0）的图像可能是7．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的外接球表面积是·2·A．32πB．πC．3πD．4π8．已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是A．14B．13C．12D．239．已知双曲线2221xab2y－＝(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线2y＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1），则双曲线的焦距为A．25B．23C．43D．4510．在一个容量为300的样本频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{na}，已知a2＝2a1，则小长方形面积最大的一组的频数为A．80B．120C．160D．20011．已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）＝x，那么在区间[－1,3]内关于x的方程f（x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1）的根的个数A．不可能有3个B．最少有1个，最多有4个C．最少有1个，最多有3个D．最少有2个，最多有4个12．已知A，B是椭圆2212xb2y＋＝（2＞b＞0）长轴的两个顶点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2且k1k2≠0，若｜k1｜＋｜k2｜的最小值为1，则椭圆方程中b的值为A．12B．1C．2D．32第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应位置．13．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a－3）＝P（ξ＞a＋2），则a的值为______________.·3·14．在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BCα，一直角边ACβ，BC与β所成角的正弦值为64，则AB与β所成的角是____________.15．在平面直角坐标系中，不等式组0,20,(0)xxaxa＋2y≥－y≥＞≤，表示的平面区域的面积为5，直线mx－y＋m＝0过该平面区域，则m的最大值是________________．16．已知数列{na}满足a1＝1，na＝11222nnnaan--＋（n≥2），则数列{na}的通项公式为na＝________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）设函数f（x）＝sin（ωx＋），其中ω＞0，｜｜＜2，若cos3cos－sin23sin＝0，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若A,B,C是△ABC的三个内角，且f（A）＝－1，求sinB＋sinC的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数f（x）＝logmx（m为常数0＜m＜1＝，且数列{f（na）}是首项为2，公差为2的等差数列．（1）nb＝naf（na），当m＝22时，求数列｛nb｝的前n项和nS；·4·（2）设nc＝na·lgna，如果｛nc｝中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．19．（本题满分12分）某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．20．（本题满分12分）如图，四棱锥S－ABCD是正四棱锥，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．21．（本题满分12分）设椭圆C：2221xab2y＋＝（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为6，2AF＝32FB．（1）求椭圆C的离心率；·5·（2）如果｜ＡＢ｜＝163，求△F1AB的面积．22．（本题满分12分）已知函数f（x）＝ax＋xlnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，k＜()1fxx对任意x＞1恒成立，求k的最大值；（3）当n＞m≥4时，证明()()nmmnmnnm＞．数学试题（理）答案一．选择题DACDDDCCACBB二．填空题13.7314.315.3416.Nnnn12三．解答题17．解：（1）由条件，2coscossinsincoscossinsincos()0333335,,,2636326，……………………2分·6·又图象的一条对称轴离对称中心的最近距离是4，所以周期为，2，…2分sin26fxx．……………………5分（2）由1fA，知sin216A，A是ABC的内角，0A，132666A，322,623AA，从而3BC．……………6分由sinsinsinsinsin33BCBBB，……………8分20,3333BB，3sin123B，即3sinsin,12BC．……………10分18：解因数列)(naf是首项为2，公差为2的等差数列，所以nafn2)(又……………2分当22m时1)21(2)21()(nnnnnnnafab……………3分1210)21()21(3)21(2)21(1nnnSnnnS)21()21(3)21(2)21(121321两式相减nnnnnnnS)21(211)21(11)21()21()21()21()21(12112104)21)(2(1nnnS……………6分（2）由（1）知,lg2lg2mmnaacnnnn要使1nncc对于一切Nn成立，即mmnmmnnnlg)1(2lg2)1(22对一切Nn成立2)1(,0lg,10mnnmm对一切Nn成立……………9分只需2min()1nmn＜，而1111nnn单调递增，1n时21)1(minnn·7·212m＜得2222mm的取值范围是22,0……………12分19.解：（1）的所有可能取值为0，1，2．……………………1分设“第一次训练时取到个新球（即i）”为事件iA（i0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230CCPAP，……………………3分53)1()(2613131CCCPAP，……………………5分51)2()(26232CCPAP．……………………7分所以的分布列为（注：不列表，不扣分）012P515351的数学期望为1512531510E．……………………………………8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B．则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件BABABA210．而事件BA0、BA1、BA2互斥，所以，)()()()(210210BAPBAPBAPBABABAP．由条件概率公式，得253535151|()()(261313000CCCABPAPBAP），………………………9分2581585353|()()(261412111CCCABPAPBAP），………………………10分151315151|()()(261511222CCCABPAPBAP）．………………………11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为·8·7538151258253)(210＝BABABAP．………………………12分20:解（1）设AC与BD交于O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD,以O坐标原点OSOCOB,,分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图设底面边长为a则高aSO26，于是)26,0,0(S，)0,0,22(aD，)0,22,0(aC，)0,22,0(aOC，)26,0,22(aaSD，0SDOC，故SDOC，从而SDAC……………4分（2）由题意知，平面PAC的一个发向量为，)26,0,22(aaDS，平面DAC的一个发向量为)26,0,0(aOS。设所求二面角为，则23cosDSOSDSOS，所求二面角的大小为030……………8分（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，由（2）知DS是平面PAC的法向量，且)26,0,22(aaDS，)26,22,0(aaCS，设CStCE,则)26),1(22,22(attaaCStBCCEBCBE，而31,0tDSBE……………10分即当SE:EC=2:1时，BEDS,而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC…………12分21解（1）)0,(2cF可设),,(11yxA),(22yxB，直线的方程为)(33cxy·9·由222222)(33bayaxbcxy知，22421222213,332babyybacbyy……………3分由BFAF223知3,,3,212211yyycxyxc3132333224222222212211221bbabacbyyyyyyyy34312222bac，223ca，33e……………6分(2)由（知2223,3abca，所以222421222212743,94332ababyyabacbyyayykAB91611316212，3,3ca……………9分)0,3(1F到直线AB：0133yx的距离为313110)3(33………11分3383163211ABFS……………12分22．（1）解：因为lnfxaxxx，所以ln1fxax．…………………1分因为函数lnfxaxxx的图像在点ex处的切线斜率为3，所以e3f，即lne13a．所以1a．……………………………2分（2）解：由（1）知，lnfxxxx，所以1fxkx对任意1x恒成立，即ln1xxxkx对任意1x恒成立．…………………3分·