新版通信原理第2章

主讲人：于秀兰《通信原理》第2章信号与噪声分析主讲人：于秀兰《通信原理》2.1信号的分类分类确知信号与随机信号周期信号与非周期信号功率信号与能量信号确知信号与随机信号确知信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，它在定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如正弦信号和各种形状的周期信号等。在事件发生之前无法预知信号的取值，即写不出明确的数学表达式，通常只知道它取某一数值的概率，这种具有随机性的信号称为随机信号。例如，半导体载流子随机运动所产生的噪声和从目标反射回来的雷达信号（其出现的时间与强度是随机的）等都是随机信号。所有的实际信号在一定程度上都是随机信号。周期信号与非周期信号周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。周期信号)(tf满足下列条件()(),0,1,2.3,,ftftnTnt式中，T为)(tf的周期，是满足上式条件的最小时段。非周期信号是不具有重复性的信号。功率信号与能量信号如果一个信号在整个时间域（,）内都存在，平均功率是有限的，称这种信号为功率信号。设信号)(tf为时间的实函数，通常把信号)(tf看作是随时间变化的电压或电流，则当信号)(tf通过1Ω电阻时，其瞬时功率为2)(tf，而平均功率定义为/22/2T1limf()TTPtdtT能量有限的信号称为能量信号。其平均功率一般等于0dttfE)(2主讲人：于秀兰《通信原理》2.2确知信号的分析1、单位冲激函数1dtt0t0t0tδ定义式2、门函数3、抽样函数t202tGtsinttSa202t性质：1）Sa（t）是偶函数；2）当t=0时，Sa（t）取最大值；当t=±kπ（k≠0）时，Sa（t）=0；3）随t增加，Sa（t）将逐渐衰减并趋于0；一、常见的信号函数二、傅里叶变换dtetfFdeF21tfFtftj-tj)(,)(则：如果1、表达式2、典型信号的付氏变换211t1,)000000jtsintcos2)000000FF2jtsintfFF21tcostf3)t202tG22Sa4）0tt0Sa000020G5）问题：如何由频谱图得到信号的带宽？①低通型信号②带通型信号6）周期信号的傅里叶变换设)(tf为周期信号，其周期为T，将其展开成指数傅里叶级数，得0()jntnnftFe式中，T/20；2/2/0)(1TTtjnndtetfTF。则傅里叶变换为n0nnF2tf可见，周期信号的傅里叶变换由一系列位于各谐波频率0n上的冲激函数组成，各冲激函数的强度为2nF。三、功率信号的相关函数相关函数是衡量信号之间关联或相似程度的一个函数。它表示了同一个信号间隔时间的相互关系或两个信号之间的相互关系。1、功率信号)(tf的自相关函数定义221()lim()()TTTRftftdtT自相关函数反映了一个信号与其延迟τ秒后的信号之间相关的程度。当τ=0时，功率信号的自相关函数)0(R等于信号的平均功率。即平均功率S=R（0）2、两个功率信号)(1tf和)(2tf的互相关函数定义2121221()lim()()TTTRftftdtT可见，互相关函数反映了一个信号与另一个延迟τ秒后的信号间相关的程度。四、功率谱密度可以从时域的角度定义功率信号tf的功率dttfTlimPTT2T2/2/1也可以从频域的角度来研究信号的功率。由于dωTFπdt(t)fTPTTT/T/T2222lim211lim式中，)(TF是)(tf的截短函数()Tft的频谱函数。为了描述信号的功率在各个频率分量上的分布情况，定义单位频带内信号的平均功率为功率谱密度（简称功率谱）。TFlimP2Tf单位：瓦/赫五、功率信号的功率谱密度和相关函数dffPdP21dTFlim21dttfT1limSSS2TT2T2T2TT1）功率2）功率谱密度HzWTFlimP2TTS3）相关函数2T2TTTTdttftfT1limRSPR可以证明：功率信号的相关函数和功率谱呈付氏变换。六、信号通过线性系统线性系统thtxthtxty时域：线性系统HXHXY频域：2XYHPP功率谱密度：七、信号通过乘法器]P[P41P0X0XY功率谱密度：txtcostxty0时域：tcos0乘法器X频域：]X[X2100八、希尔伯特（Hilbert）变换3、结论：tftf^πt12、性质：1、定义：如果用表示信号的希尔伯特变换，则：tf^tfπttftfHtf^1和幅频特性相同。tf^tf比相位滞后90o。tf^tf^^πt0jF0jFFjsgnF0j0jjsgnHth^,1例题：。的计算tftcostf0^解：tsin2-tcos(tf00)^主讲人：于秀兰《通信原理》2.3随机变量的统计特征一、随机变量（以“连续随机变量”为例）1、研究一个随机变量X的统计特性1）概率分布分布函数xXPxF概率密度dxxfxFxFdxdxfx2）数字特征均值：dxxxfXE方差：XEXEXEXEXD222自相关：2XXER2、研究两个随机变量X、Y的统计特性1）概率分布联合分布函数yx,YXPx,yF概率密度yxdudvu,vfx,yFx,yFyxx,yf22）数字特征均值：YEXEYXE如果X、Y相互独立，则yFxFx,yFyfxfx,yfYXYXYEXEXYE如果X、Y相互独立，则方差：YDXDYXD如果X、Y相互独立，则互相关：XYEYX,R协方差：YEXE-YX,RYEYXEXEYX,cov不相关。，，则如果YX0YX,cov如果随机变量X、Y相互独立，则不相关。反之，不成立。如果X、Y相互独立，则YEXEXYEyFxFx,yFyfxfx,yfYXYX此时，可以证明得到主讲人：于秀兰《通信原理》2.4随机过程的一般表述2.4.1随机过程的特征1、随机过程是时间的函数，但在任一时刻上观察到的值是不确定的，是一个随机变量。2、随机过程可以看作全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性体现在到底出现哪个实现是不确定的。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tkx1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk随机过程的特征可以表述为：横向上，它就是一个波形、一个实现（样本函数）；纵向上，对于某个时刻t，它就是一个随机变量。通信中的信号和噪声通信中的信号具有一定的信息量，即具有一定的随机性；通信系统中的噪声不能预测，也具有随机性。所以，从统计数学的观点看，随机信号和噪声都属于随机过程。一、概率分布1）分布函数任意时刻，随机过程是一个随机变量。1t1t11111ttxPxF,;一维分布函数nn2211n21n21nttttttxxxxxPxF,,,,,,;,,,n维分布函数随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。2.4.2随机过程的统计特征2）概率密度nnnnnnnnxxx,t,,t;t,x,,xxF,t,,t;t,x,,xxf2121212121二、随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。均值：tadxx,txftξE1方差：tσtatξEtatξEtξD2222自协方差:tatatt,RtattatEtt,BttEtt,R自相关:互相关和互协方差设和分别表示两个随机过程ttttEtt,Rtatatt,RtattatEtt,B则：例题设随机过程)(t可以表示成)2cos(2)(tt，式中是一个离散随机变量，且2/1)2/(,2/1)0(pP，试求)1,0(),1(RE。解：1)cos0cos(2][cos2)]2cos(2[)]1([)1(22121EEEE214]cos2cos2[)]1()0([)1,0(21EER设随机变量Y是随机变量X的函数，则XgYiiixPxgYE离散：连续：dxxfxgYE例题设随机过程0,)(tbAttX，其中A为高斯随机变量，b为常数，且A的一维概率密度函数2(1)/21()2xAfxe，求)(tX的均值和方差。解：由2(1)/21()2xAfxe得出随机变量A的均值为1，方差为1，即1)(AE，1)(AD。因为bAttX)(，所以[()][]EXtEAtbtb同理，2[()][]DXtDAtbt主讲人：于秀兰《通信原理》2.5平稳随机过程重点：平稳随机过程的判定一、平稳随机过程的定义1）狭义平稳：平稳随机过程是指它的统计特性不随时间的推移而变化。,τ,xxf,t;t,xxfxf;txf2122121211111该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布,则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔τ有关，即有τ,tτ,τ,t;t,x,,xxf,t,,t;t,x,,xxfnnnnnn21212121设随机过程{ξ(t)，t∈T},若对于任意n和任意τ，有则称ξ(t)是狭义平稳随机过程或严平稳随机过程。2）广义平稳随机过程由定义的平稳随机过程是对于一切n都成立，这在实际应用上很复杂。为此引入另一种平稳随机过程的定义：τ,tτ,τ,t;t,x,,xxf,t,,t;t,x,,xxfnnnnnn21212121设有一个二阶矩随机过程ξ(t)，它的均值为常数，自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。说