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从数理经济学到数理金融学的百年回顾史树中(北京大学金融数学与金融工程研究中心光华管理学院)百年回顾2一般经济均衡理论和数学公理化百年回顾3一般经济均衡理论的创始人1874年1月，法国经济学家瓦尔拉斯(L.Warlas,1834～1910)发表了他的论文《交换的数学理论原理》，首次公开他的一般经济均衡理论的主要观点。百年回顾4一般经济均衡理论要点在一个经济体中有许多经济活动者，其中一部分是消费者，一部分是生产者。消费者追求消费的最大效用，生产者追求生产的最大利润，他们的经济活动分别形成市场上对商品的需求和供给。市场的价格体系会对需求和供给进行调节，最终使市场达到一个理想的一般均衡价格体系。在这个体系下，需求与供给达到均衡，而每个消费者和每个生产者也都达到了他们的最大化要求。百年回顾5一般经济均衡理论的数学问题假定市场上一共有k种商品，每一种商品的供给和需求都是这k种商品的价格的函数。这k种商品的供需均衡就得到k个方程。但是价格需要有一个计量单位，这k种商品的价格之间只有k种商品的价格是独立的。为此，瓦尔拉斯又加入了一个财务均衡的关系，即所有商品供给的总价值应该等于所有商品需求的总价值。这一关系目前就称为“瓦尔拉斯法则”，它被用来消去一个方程。最后瓦尔拉斯就认为，他得到了求k-1种商品价格的k-1个方程所组成的方程组。这个方程组有解，其解就是一般均衡价格体系。百年回顾6但是上述“数学论证”在数学上是站不住脚的。这是因为如果方程组不是线性的，那么方程组中的方程个数与方程是否有解就没有什么直接关系。这样，从数学的角度来看，长期来，瓦尔拉斯的一般经济均衡体系始终没有坚实的基础。这个问题经过数学家和经济学家们80年的努力，才得以解决。百年回顾7一般经济均衡研究的后继者冯·诺依曼(J.vonNeumann,1903～1957)经济增长模型1973年诺贝尔经济学奖获得者列昂节夫(W.Leontiev,1906～1999)投入产出方法1972年诺贝尔经济奖获得者希克斯(J.R.Hicks,1904～1989)《价值与资本》1970年诺贝尔经济奖的萨缪尔森(P.Samuleson,1915～)《经济分析基础》百年回顾81954年阿罗与德布鲁发表一般经济均衡存在性的严格证明整个一般经济均衡理论被严格数学公理化，今天已被认为是现代数理经济学的里程碑。1972年诺贝尔经济学奖获得者阿罗(K.Arrow,1921～)《社会选择与个人价值》1983年诺贝尔经济奖获得者德布鲁(G.Debreu,1921～)《价值理论》百年回顾9从“华尔街革命”追溯到1900年百年回顾10现代金融学通常认为只有不到50年的历史。这50年也就是使金融学成为可用数学公理化方法架构的历史。从瓦尔拉斯－阿罗－德布鲁的一般经济均衡体系的观点来看，现代金融学的第一篇文献是阿罗于1953年发表的论文《证券在风险承担的最优配置中的作用》。在这篇论文中，阿罗把证券理解为在不确定的不同状态下有不同价值的商品。这一思想后来又被德布鲁所发展，他把原来的一般经济均衡模型通过拓广商品空间的维数来处理金融市场，其中证券无非是不同时间、不同情况下有不同价值的商品。百年回顾11但是后来大家发现，把金融市场用这种方式混同于普通商品市场是不合适的。原因在于它掩盖了金融市场的不确定性本质。尤其是其中隐含着对每一种可能发生的状态都有相应的证券相对应，如同每一种可能有的金融风险都有保险那样，与现实相差太远。百年回顾12两次“华尔街革命”第一次“华尔街革命”是指1952年马科维茨(H.Markowitz,1927～)的证券组合选择理论的问世。第二次“华尔街革命”是指1973年布莱克(F.Black,1938～1995)－肖尔斯(M.Scholes,1941～)期权定价公式的问世。这两次“革命”的特点之一都是避开了一般经济均衡的理论框架。百年回顾131990年诺贝尔经济奖获得者马科维茨(H.Markowitz,1927～)《证券组合选择理论》米勒(M.Miller,1923～2000)莫迪利阿尼－米勒定理(MMT)夏普(W.Sharpe,1934～)资本资产定价模型（CAPM)百年回顾14其他有关诺贝尔经济奖获得者1985年诺贝尔经济奖获得者莫迪利阿尼(F.Modigliani,1918～)生命周期理论1976年诺贝尔经济学奖获得者弗里德曼(M.Friedman,1912～)货币主义学派领袖1981年诺贝尔经济学奖获得者托平(J.Tobin,1918～)证券组合选择百年回顾151997年诺贝尔经济奖获得者布莱克(F.Black,1938～1995)期权定价公式1973年布莱克－肖尔斯－默顿期权定价理论问世默顿(R.Merton,1944～)《连续时间金融学》肖尔斯(M.Scholes,1941～)期权定价公式百年回顾16马科维茨研究的是这样的一个问题：一个投资者同时在许多种证券上投资，那么应该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。对此，马科维茨在观念上的最大贡献在于他把收益与风险这两个原本有点含糊的概念明确为具体的数学概念。马科维茨首先把证券的收益率看作一个随机变量，而收益定义为这个随机变量的均值(数学期望)，风险则定义为这个随机变量的标准差。如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的数学规划。百年回顾17对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风险－收益平面上，就可画出一条曲线，它称为组合前沿。马科维茨理论的基本结论是：在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。组合前沿的上半部称为有效前沿。对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。百年回顾18夏普和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以马科维茨的准则来决策，而导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型(CapitalAssetPricingModel,CAPM)。这一模型认为，每种证券的收益率都只与市场收益率有关。百年回顾19米勒与莫迪利阿尼一起在1958年以后发表了一系列论文，探讨“公司的财务政策(分红、债权/股权比等)是否会影响公司的价值”这一主题。他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。后来他们的这些结论就被称为莫迪利阿尼－米勒定理(Modigliani-MillerTheorem,MMT)。百年回顾20他们的研究不但为公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明确提出无套利假设。所谓无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会(即确定的低买高卖之类的机会)。因此，如果两个公司将来的(不确定的)价值是一样的，那么它们今天的价值也应该一样，而与它们财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。百年回顾21达到一般经济均衡的金融市场显然一定满足无套利假设。这样，莫迪利阿尼－米勒定理与一般经济均衡框架是相容的。但是直接从无套利假设出发来对金融产品定价，则使论证大大简化。这就给人以启发，我们不必一定要背上沉重的一般经济均衡的十字架，从无套利假设出发就已经可为金融产品的定价得到许多结果。从此，金融经济学就开始以无套利假设作为出发点。百年回顾22以无套利假设作为出发点的一大成就也就是布莱克－肖尔斯期权定价理论。所谓(股票买入)期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种股票的权利。期权在它被执行时的价格很清楚，即：如果股票的市价高于期权规定的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的，其价格为零。现在要问期权在其被执行前应该怎样用股票价格来定价？百年回顾23为解决这一问题，布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻划，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。这种随机微分方程称为几何布朗运动。百年回顾24然后，利用每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险，使得该组合变成无风险证券，从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程，其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动率”。出人意料的是这一方程居然还有显式解。于是布莱克－肖尔斯期权定价公式就这样问世了。百年回顾25布莱克－肖尔斯公式的发表困难重重地经过好几年。与市场中投资人行为无关的金融资产的定价公式，对于习惯于用一般经济均衡框架对商品定价的经济学家来说很难接受。这样，布莱克和肖尔斯不得不直接到市场中去验证他们的公式。结果令人非常满意。有关期权定价实证研究结果先在1972年发表。然后再是理论分析于1973年正式发表。百年回顾26与此几乎同时的是芝加哥期权交易所也在1973年正式推出16种股票期权的挂牌交易(在此之前期权只有场外交易)，使得衍生证券市场从此蓬蓬勃勃地发展起来。布莱克－肖尔斯公式也因此有数不清的机会得到充分验证，而使它成为人类有史以来应用最频繁的一个数学公式。百年回顾27布莱克－肖尔斯公式的成功与默顿的研究是分不开的，后者甚至在把他们的理论深化和系统化上作出更大的贡献。默顿的研究后来被总结在1990年出版的《连续时间金融学》一书中。对金融问题建立连续时间模型也在近30年中成为金融学的中心。这如同连续变量的微分学在瓦尔拉斯时代进入经济学那样，微分学能强有力地处理经济学中的最大效用问题；而连续变量的金融模型同样使强有力的随机分析更深刻地揭示金融问题的随机性。百年回顾2820世纪50年代，萨缪尔森发现，一位几乎被人遗忘的法国数学家巴施里叶(L.Bachelier,1870～1946)早在1900年已经在他的博士论文《投机理论》中用布朗运动来刻划股票的价格变化，并且这是历史上第一次给出的布朗运动的数学定义，比人们熟知的爱因斯坦1905年的有关布朗运动的研究还要早。尤其是巴施里叶实质上已经开始研究期权定价理论，而布莱克－肖尔斯－默顿的工作其实都是在萨缪尔森的影响下，延续了巴施里叶的工作。百年回顾29这样一来，数理金融学的“祖师爷”就成了巴施里叶。对此，法国人很自豪，最近他们专门成立了国际性的“巴施里叶协会”。2000年6月，协会在巴黎召开第一届盛大的国际“巴施里叶会议”，以纪念巴施里叶的论文问世100周年。百年回顾30“金融经济学的悲剧英雄”巴施里叶ThetragicherooffinancialeconomicswastheunfortunateLouisBachelier.Inhis1900dissertationwritteninParis,TheoriedelaSpéculation(andinhissubsequentwork,esp.1906,1913),heanticipatedmuchofwhatwastobecomestandardfareinfinancialtheory:randomwalkoffinancialmarketprices,Brownianmotionandmartingales(note:allbeforebothEinsteinandWiener!)百年回顾31谁将是下一位金融的诺贝尔经济奖得主？百年回顾32布莱克－肖尔斯公式的成功也是用无套利假设来为金融资产定价的成功。这一成功促使1976年罗斯(S.A.Ross,1944～)的套利定价理论(APT,ArbitragePricingTheory)的出现。百年回顾33APT是作为CAPM的替代物而问世的。CAPM的验证涉及对市场组合是否有效的验证，但是这在实证上是不可行的。于是针对CAPM的单因素模型，罗斯提出目前被统称为APT的多因素模型来取代它。百年回顾34对此，