河海大学概率论与数理统计试卷2007

A-卷1河海大学2007~2008学年第一学期2006级《概率论与数理统计》试卷（供全校工科专业使用）2007年12月专业姓名学号（A卷）题号一二三四五六七成绩得分一、（每空3分，共18分）填空题1．设A、B为随机事件，P（A）=0.7，P（A–B）=0.3，则)(BAP；2．某实习生用一台机器接连独立地制造了3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率)3,2,1(11iipi，以X表示3个零件中合格品的个数，则P{2X}=；3．已知X的密度函数为1221)(xxexf，则)(XD；4．设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知1)]2)(1[(XXE，则=；5．设21,XX是来自正态总体),0(2N的样本，则||/21XXU服从分布；6．设总体X服从10分布),1(pB，nXXX,,,21是来自X的样本，X为样本均值，则对任意整数)(),0(nkXPnkk。二、（本题满分12分）有三个箱子各装有一些红、白球。第一个箱子装有4个红球4个白球，第二个箱子装有2个红球6个白球，第三个箱子装有6个红球2个白球，现用掷骰子来决定从哪箱子里取出一只球，若出一点，则从第一个箱子取出一只球，若出6点，则从第三个箱子取出一只球，若出的是其他点，则从第二个箱子取出1只球。1．试求取出的是1只红球的概率；2．已知取出的是1只红球，求这只红球是来自第二个箱子的概率。三、（本题满分12分）设随机变量X密度函数为其它,021,210,)(xxxxxf求：1．X的分布函数)(xF；2．)(,)(XDXE.四、（本题满分18分）设二维连续型随机变量（X，Y）的密度函数为其它,011,10,2),(yxxyxf，求：1．关于X和Y的边缘密度分布函数)(,)(yfxfYX；2．X与Y的协方差),(YXCov；3．YXZ的密度函数)(zfZ。五、（本题满分10分）设),(~,),(~21pnBYpnBX且相互独立，证明：),(~21pnnBYX。六、（本题满分15分）设总体X服从,0上的均匀分布，其中为未知参数。nXXX,,,21是来自X的简单随机样本。求的矩估计量Mˆ和极大似然估计量MLEˆ，并说明MLEˆ是否为的无偏估计量，请给出理由。七、（本题满分15分）某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）服从正态分布，现随机地抽取26只电池，测出其寿命的样本方差72002s1．试检验假设5000:,5000:2120HH（给定显著性水平05.0）；2．求的置信度为0.95的置信区间。附表：部分2分布表)}()({22nnP)(2nn0.0250.050.950.9752540.64637.65214.66113.1202641.92338.88515.37913.844A-卷2答案（A）一、填空题1、0.62、24113、214、15、t(1)6、knkknppC)1(二、设iA=个箱子中取一只球从第i，i1,2,3B=取出一只红球1、31)()()(iiiABPAPBP=61×84+64×82+61×86=832、)(2BAP=)()()(22BPABPAP=838264=94三、1、xdttfxF)()(当x≤0，0)(xF当0＜x≤1，xxtdtxF0221)(当0＜x＜2，1221)2()(1021xxdtttdtxFx当x≥2，1)(xF2,121,122110,210,0)(22xxxxxxxxF2、10211)2()()(dxxxxdxxdxxxfxE102122267)2()(dxxxxdxxxE61167)()()(222ExxExD四、1、1122)(xxxdyxf，（0＜x＜1）A-卷31122)(yYydxyf，（0＜y＜1）2、322)(10xdxxXE同理32)(YE10111252)(xdyyxdxYXE))(()(),(EYEXYXEYXCov=361)32(12523、dxxzxfzfZ),()(1110xzxx1110zxzx11)21()2(22)(zZzzdxzf五、法一：因为),(~1pnBX所以121nXXXX其中121nXXX独立同分布),1(pB同理221nYYYY其中2,,,21nYYY独立同分布),1(pB又YX与相互独立所以1,,,21nXXX，2,,,21nYYY独立同分布),1(pB从而),(~21212121pnnBYYYXXXYXnn法二：对任意的0≤k≤21nn)(kYXP=kiikYiXP0),(=kiikYPiXP0)()([因为YX,独立]=kiiknikikniniinppCppC0)(2211)1()1(=knnkkiikninppCC2121)1(0=knnkknnppC2121)1(所以),(~21pnnBYX六、2)(XE由XXE)(得XM2ˆ1)(xf，（0≤x≤）似然函数nL1，（0≤ix≤，ni,,2,1）n1，（0≤),,min(1nxx≤),,max(1nxx≤）所以),,max(ˆ21nMLExxxA-卷4xxxxxF,10,0,0)(MLEˆ的分布函数为)(xFL=xxxxxFnnn,10,0,0)(1)(nnLxnxf，（0＜x＜）)ˆ(MLEE=011nndxxnxnn从而MLEˆ不是的无偏估计量。七、1、5000:20H，5000:21H05.0该检验的拒绝域为)1()1(22202nxSn或)1()1(221202nxSn2S=720026n500020202)1(Sn=50007200)126(=36而646.40)25()1(2025.022xnx120.13)25()1(2975.0221xnx由于13.120＜36＜40.646即)1(221nx＜202)1(Sn＜)1(22nx从而接受0H，即认为2=50002、的置信度为1的置信区间是)1()1(,1()1(2212222nxSnnxSn95.01,7200,262Sn=120.13720025,646.40720025=（66.547,117.130）