ARCH和GARCH模型

1现代金融研究专题GARCH模型21、金融时间序列的特点尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融回报序列普遍表现出厚尾（fattails）和在均值处出现过度的峰度（excesspeakedness），偏离正态分布。就投资回报率而言，其分布的峰度比标准正态分布的峰度高。这表明股票投资比其它行为对更多的人而言具有同向影响，即市场具有收益时更多的人会有收益，市场亏损时，更多的人会亏损，暴发户和暴跌户为少数。厚尾意味着其波动持续时间较长。波动丛集性（volatilityclustering）和波动集中性（volatilitypooling），波动是自相关的正负冲击的非对称性：好消息和坏消息对投资者的影响以上的这些特点，传统计量经济学的线性回归模型是无法解决的。回归的结果可能是错误的32210)var(),0(∽tttttuNuuxy41、金融时间序列的特点实证结果表明：金融资产的回报率并不完全满足正态分布对深市2000.1.4~2006.5.9日回报率样本偏度是0.75，峰度是8.91。由于大多数的金融资产具有明显的重尾性，可以采用两种方法进行改进条件分布：ARCH和GARCH寻找其他分布形式来描述，主要有t分布，GED分布和g&h分布050100150200250300350-0.05-0.000.05Series:R_SZZSSample11520Observations1519Mean5.60e-05Median0.000143Maximum0.094014Minimum-0.065430Std.Dev.0.013451Skewness0.751425Kurtosis8.916269Jarque-Bera2358.298Probability0.000000峰度K=8.91，大于标准峰值3，具有尖峰特征，偏度S=0.750，具有右厚尾的特征。注：1、偏度（Skemness)反映的是序列分布密度对称性的指标。若偏度大于0，则分布是右偏或正偏。反之,若偏度小于0，称分布是左偏或负偏。它一般是由序列的三阶矩计算niXtXnitXXXXXXnnXXXEXS12133)(11,.],)([)(的平均值和标准差分别为和其中6峰度（Kurtosis)是用来测定序列分布的形状，一般以正态分布的峰度（=3）为标准，若峰度大于3，则表示该分布具有尖峰厚尾的特性；反之，若峰度小于3，则表示该分布具有低峰薄尾的特征。若峰度值较大，是由于存在大幅度偏离均值的异常值所造成的。峰度由序列的四阶矩来度量：.],)([)(44的平均值和标准差分别为和其中XXEXKXXXX一般服从正态分布时偏度值K应有K～N(0,6/n),在本次检验中95%置信度时的置信区间应为(-0.0077,0.0077),0.0077=1.96*6/1520,因此0.7514不在此区间内，故不服从正态分布。另外，如果样本数据完全服从标准正态分布时,峰度值K应有K～N(3,24/n),在本次检验中95%置信度时的置信区间为(3–0.031,3+0.031)=(2.969,3.031),其中0.031=1.96×24/1520。而该样本的峰度值是8.916,不在置信区间内,因此不服从正态分布。050100150200250300350-0.05-0.000.05Series:R_SZZSSample11520Observations1519Mean5.60e-05Median0.000143Maximum0.094014Minimum-0.065430Std.Dev.0.013451Skewness0.751425Kurtosis8.916269Jarque-Bera2358.298Probability0.0000007金融系列波动的丛集性特征。-.10-.05.00.05.10250500750100012501500R_99_9703如图所示，为上证指数对数日收益率时间序列图，从图中直观可见，收益率存在着丛集性效应(即一次大的波动后往往伴随着大的波动，一次小的波动后往往伴随着小的波动)。82ARCH模型ARCH，autoregressiveconditionallyheteroscedastic，自回归条件异方差模型条件：在时间序列中，给出不同的时点的样本（对于不同时点的观测值），得到残差的方差是不同的，故方差随时间给出的条件而变化，即异方差。自回归：残差平方服从AR(p)过程:ut=ρ0+ρ1ut-1+ρ2ut-2+……+εt若线性回归模型的误差实际上是异方差，却被假定为同方差，这就意味着标准误差的估计值是错误的。此时，参数的估计量的方差是有偏估计（或者不收敛，是时变的），统计检验和置性区间就不正确！9201011122221222222212222,(0,),0()ˆˆvar()var()var()(0,),var()ˆvar()var()()tttttttttttttttttttttttttttttttybbxuuiidNbxyxbxuxubbxxxxuxubxxxifuNxuxubxxx10普通最小二乘估计（OSL）：回归直线要使得残差平方和最小。异方差存在时，普通最小二乘估计法给误差方差大的观测值以较大的权重，给误差方差小的观测值以较小的权重。回归结果：使得残差平方和最小，故产生一个后果，只要方差大的那部分数据得到很好的拟合，这样普通最小二乘不再是有效的——参数估计量的方差不再是最小的方差。这样由OSL估计得到的参数估计量的方差是“伪方差”，无法证明回归参数与真实值的关系。11单指数模型的伪回归：中国银行12单指数模型的伪回归：中国银行048121620242832-0.050.000.05Series:ResidualsSample2132Observations131Mean-1.06e-19Median-0.001192Maximum0.084688Minimum-0.073893Std.Dev.0.015912Skewness1.104984Kurtosis12.85942Jarque-Bera557.2528Probability0.000000132.1条件矩条件均值对于时间序列x的每个值都存在一个时间序列y的条件分布||(|)(,)[|],(|)(|)()yxyyxxyyfyxdyfxyEYXfyxyfyxfx理解：条件期望是关于随机变量X的值的函数，对于X不同的取值，条件期望也是不同，即E(y|x)为随机变量。140120101ˆˆˆ,(0,)ˆˆ,,,ˆˆ(|)ttttttttttttttybbxyyuuiidNybbxuxyXYEyxbbx所谓条件期望值函数，也就是因变量对自变量的回归。在本例中，也就是y对x的回归条件均值是x的函数，若X是一个分布，则条件均值也是一个分布。回归与条件均值152.2ARCH模型的导出011,22,2,...()0,()0,ttttttybbxbxuEutEuut注意：ut是一个白噪声，其无条件方差是一个常数。但是ut的条件方差随时间而变化，假设服从AR(1)过程（模型的名称来源）22011tttuuw2tu16正态-ARCH（q）2011,22,222201122,...,(0,),...,tttttttttqtqybbxbxuuNuuu22201122(0,),...,tttttqtquNhhuuu或者或者222201122,(0,1),...,tttttttqtquvvNuuu17随机过程的平稳性平稳性：若随机过程的随机特征（如均值，方差）不随时间发生变化，则称该过程是平稳。区别：条件方差是时变的，故其为一个分布，但是该分布却是平稳的，即平稳随机过程的随机性质不随时间而变。平稳性的优点：（1）可用系数方程将时间序列的模型化；（2）方程的系数可以利用序列的过去数据来估计得到.182.3ARCH（1）模型的参数约束由残差序列的平稳性可知110110120110()()0,var()var(),,(0,1)var()var()var()var()0101,0ttttttttttttEuEuuuuvvNuuuu这里由此可得19ARCH的参数的约束残差序列ut的无条件峰度K2201042221112211213(1)()[](1)(13)11133,(0)133mk该ARCH模型估计的残差序列的无条件分布具有尖峰厚尾特性，进一步20ARCH与厚尾性参看均值方程的情形，若假设某资产的回报率满足01tttrbbxu由于均值方程中只有残差是随机过程，则有442222()()3[var()][var()]ttttmrmukru以上表明，利用ARCH可以描述回报序列的厚尾性！21实证：中石化ARCH（1）2110.20,1/322ARCH的缺陷ARCH模型对参数的限制非常严格。ARCH（1）对于参数给出的非常严格的限制，并且随着ARCH阶数的增加，其限制将更为复杂，在实际的回归过程中，可能很难满足这样的条件。ARCH（1）描述金融时间序列是不够的，ARCH（P）需要大量的参数估计，且要保证所有的参数均满足参数约束是很困难的，以及保证显著性是很困难的。现在，ARCH主要是用来检验金融时间序列是否具有条件异方差效应，即ARCH检验。232.4ARCH效应检验（1）进行均值方程的回归，可以采用普通的一元或者多元回归，或者是AR(n)的均值方程，均值方程的构建取决于金融学的研究目的AR(m)-ARCH（p）011222201122meanequationvarianceequation,...,ntititimtititittttttqtqybbxuyyuuvuuu或者24ARCH效应检验（2）根据ARCH模型的定义222201122,...,tttqtqtuuuuw因此，首先由均值方程得到残差，然后对其取平方，最后判定上述的各个参数是否显著不为零2222011220012101,...,:,...,0:00,...,0tttqtqtqquuuuwHHoror25因此，一个联合的零假设检验，其所有q阶残差平方的系数不能显著地异于零，因此，可以采用F统计量进行参数的联合检验。01122201211()/()/(21)(),()()TtttqTttqSSRSSRqFqSSRTqSSRuEuSSRw如果因变量全部由残差得到了解释，这就表明回归系数是不显著的。26ARCH效应的检验：中国银行ARCHTest:F-statistic12.02976Probability0.000000Obs*R-squared35.92259Probability0.000000TestEquation:DependentVariable:RESID^2Method:LeastSquaresDate:01/22/07Time:17:23Sample(adjusted):6132Includedobservations:127afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C0.0001187.33E-051.6048910.1111RESID^2(-1)0.2492160.0884882.8163700.