ARCH模型(1)

ARCH模型徐剑刚ARCH„在自回归移动平均模型这一章里，我们主要讨论平稳时间序列的建模问题，由于针对平稳序列，实际上假定任一时点的随机误差项的期望值是相同的，一般为0，同时假定任一随机误差项平方的期望值就是随机误差的方差，即同方差。„但是在金融市场上，金融资产报酬序列具有这样的特性，大的报酬紧连着大的报酬，小的报酬紧连着小的报酬，称为波动集群性(Mandelbrot,1963、Fama,1965)。波动集群性表明股票报酬波动是时变的，表明是异方差。„异方差虽然不会影响回归系数的最小二乘估计的无偏性，但是将影响到回归系数估计的标准差和置信区间„1997.1-2003.11上海股市天报酬-10-50510250500750100012501500LOG(SHZ/SHZ(-1))*100平方报酬绝对值报酬00.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.01214829444058673287810241170131600.010.020.030.040.050.060.070.080.090.129418627837046255464673883092210141106119812901382中信指数报酬平方序列自相关系数-0.10-0.050.000.050.100.150.200.251357911131517192123252729313335z天报酬平方序列存在显著自相关中信指数报酬绝对值序列自相关系数-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.301357911131517192123252729313335z天报酬绝对值序列存在显著自相关股价指数天报酬序列、平方序列、绝对值序列自相关系数上证指数成份股指数中信指数报酬平方绝对值报酬平方绝对值报酬平方绝对值1-0.0120.177*0.236*0.0330.177*0.244*0.0420.132*0.232*2-0.0320.141*0.208*-0.0100.196*0.253*-0.0250.161*0.257*30.0190.156*0.227*0.049***0.153*0.220*0.0400.223*0.286*40.057**0.115*0.181*0.048***0.138*0.177*0.0260.081*0.188*5-0.0150.045***0.125*-0.0100.100*0.174*-0.0070.077*0.155*6-0.0020.093*0.135*-0.0050.155*0.174*-0.0340.081*0.151*70.0180.071*0.163*0.0000.099*0.171*0.0190.097*0.183*8-0.0400.047***0.137*-0.0370.096*0.168*0.0190.099*0.193*9-0.0440.048***0.110*-0.0220.108*0.159*-0.0080.0430.126*100.0090.078*0.120*0.0060.107*0.137*-0.0240.098*0.148*11-0.0030.083*0.114*-0.0230.113*0.159*-0.0290.099*0.160*120.0700.0210.084*0.0280.048***0.110*0.115*0.069**0.152*LB(6)7.123143.58*314.82*8.688211.40*382.46*6.638126.81*321.15*LB(12)20.088***176.94*448.59*13.27294.90*584.25*24.228**178.37*499.87*LB(24)50.939*216.30*610.47*41.215**393.24*847.47*47.768*230.75*682.96*滞后阶数股票报酬时间序列特征„波动集群性:大(小)的股票报酬紧连着大(小)的股票报酬„尖峰态:即分布较正态分布具有厚尾巴„杠杆效应:Black(1976)研究发现，股票报酬与未来报酬的波动存在着负相关关系，即杠杆效应(leverageeffect)。„所谓杠杆效应，指股价下跌，引起股票价值下降，导致负债对股东权益的比率上升，公司未来的风险上升，从而未来的波动增加。杠杆效应表明非预期正股票报酬(好消息)引起波动的增加小于同幅度非预期负股票报酬(坏消息)引起波动的增加。„Christie(1982)研究表明股票报酬波动是财务杠杆的递增函数，因此，报酬波动与股票价值间存在着负相关关系。Christie(1982)andBlack(1976)都指出财务和营运杠杆不能充分说明波动的不对称效应。ARCH„Engel(1982)的自回归条件异方差(AutoRegressiveConditionalHeteroscedasticity¸ARCH)模型能描述时变波动。„ARCH模型的条件方差(条件波动)是过去误差平方的函数。一般，高阶的ARCH模型才能描述条件波动。„为了节简估计参数的个数，基于从AR发展到ARMA的思想，Bollerslev(1986)将ARCH扩展到GARCH(GeneralizedARCH)模型。一般，GARCH(1,1)模型可以描述时变波动(Bollerslev,et.al.,1992)。ARCH„问题是股票报酬分布是不对称的，非预期正股票报酬和非预期负股票报酬对波动有不同程度的影响。„而GARCH模型不能解释股票报酬分布不对称的特征，从而有“不对称”(asymmetric)或“杠杆”(leverage)波动模型。„如Nelson(1991)提出的EGARCH(ExponentialGARCH)模型，„Glosten,JagannathanandRunkle(简称GJR,1993)提出不对称的GARCH模型，GJR-GARCH模型，„Ding,GrangerandEngle(1993)提出的非对称幂ARCH(APARCH)模型。厚尾巴„但GARCH模型并不能完全描述高频率金融时间序列的厚尾巴特征，非正态分布来说明股票报酬的厚尾巴特性，„如Bollerslev(1987)用t分布，„Nelson(1991)用广义误差分布(GeneralisedErrorDistribution，GED)，„Bollerslev,EngleandNelson(1994)用广义t分布。„考虑到分布的非对称性，一些学者用混合分布，如正态-普阿松分布、正态-对数正态、贝努里-正态、混合正态分布。„为了更好地说明股票报酬分布的非对称性和尖峰态，LambertandLaurent(2001b)将FernándezandSteel(1998)提出的偏斜t-分布(skewedtdistribution)应用于GARCH模型。TheFirstARCHModel„RollingVolatilityor“Historical”VolatilityEstimator„WeightsareequalforjN„WeightsarezeroforjN„WhatisN?211NttjjhrN−==∑1982ARCHPaper„Weightscanbeestimated21ptjtjjhrα−==∑EXPONENTIALSMOOTHER„AnotherSimpleModel„Weightsaredeclining„Nofinitecutoff„Whatislambda?(Riskmetrics=.06)()2111ttthrhλλ−−=+−ARCH:Engle(1982)„设yt是由下面的线性回归模型生成的：„yt=xtξ+εtt＝1,…,T,„其中，xt是1×K维外生变量向量，ξ是K×1维回归参数向量。εt是扰动项。Ψt-1为t－1期可获的信息集合。在给定Ψt-1条件下，εt条件方差ht，ht＝Var(rt|Ψt-1)。„Engel(1982)的ARCH模型为：„为保证条件方差是正的，须限制式的参数。其中，α00，αj≥0，i=1,…,q。注意到εt-i=yt-i-xt-iξ(i＝1,…,q)，可知ht是信息集合Ψt-1元素的函数。),0(~121∑−−Ψqj=jtjtttt=hhNεαεARCH:Engle(1982)„并不是简单地说明ht是信息集合Ψt-1元素的函数，而是强调ARCH过程的条件方差具有自回归的结构。„在线性回归模型中，较大的扰动是指yt对条件均值xtξ的较大偏差εt(不考虑其符号）。„表明报酬波动会持续一段时间，即条件方差方程假设过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而减缓的影响。„在稳定期，扰动对市场波动将产生低度影响；„在非稳定期，扰动对市场波动将产生高度影响。„而条件方差方程正是模仿了市场波动集群性，大（小）幅度的变动后面一般紧接着较大（小）幅度的变动。),0(~121∑−−Ψqj=jtjtttt=hhNεαεARCH„既然条件方差ht是偏差εt平方的期望值，那么，滞后误差平方的线性组合是对近期方差趋势的一种度量，通过条件方差方程已将近期方差融入在条件方差ht中。令„其中，。既然ht是信息集合Ψt-1元素的函数。在Ψt-1的条件下，ht是固定的。因而，εt是条件正态分布，其均值和方差为：„„Var(εt|Ψt-1)＝htVar(ηt|Ψt-1)ttth=εη)1,0(~1tNt−Ψη)E()E(11−−Ψ=Ψttttthηε迭代期望定律„通过迭代期望定律(LawofIteratedExpectations)可得出ARCH过程各阶非条件矩。„设Ω1和Ω2分别是随机变量的集合，Ω1⊂Ω2。设Z是一个随机变量，则E(Z|Ω1)＝E(E(Z│Ω2)|Ω1)。„这里的Ω1和Ω2是指不同时期可获得的信息集合。假设Ω1是空集，则„E(Z)＝E(E(Z|Ω2))„上式将条件矩和非条件矩联系在一起，这是十分有用的。由于ARCH模型是根据条件矩来定义的，为导出非条件矩提供了一种方法。ARCH模型的非条件矩„设εt服从ARCH(q)过程。令q=1，应用迭代期望定律，„其无条件均值为无条件方差为„假如α11，ARCH过程存在有限方差，那么方差序列收敛于常数，即„εt的偏度为x()()()()00)E()E()E()E(111=⋅=Ψ=Ψ=Ψ=−−−tttttttttthEhEhEEηηεε()()()())(1)E()E()E()E(21101212122−−−−+=⋅=Ψ=Ψ=Ψ=tttttttttttEhEhEhEEεααηηεε1021)E(ααε−=t()()()()00=⋅=tthhE)E()E()E()E(1313133Ψ=Ψ=Ψ=−−−ttttttttttthhEhhEEηηεεARCH模型的非条件矩„εt的峰度为„因而，εt的峰度大于等于3，表明εt的分布较正态分布具有厚尾巴，这种性质使得ARCH模型在金融市场的应用具有吸引力(因为金融资产报酬较正态分布具有厚尾巴)。()()()())(3)(63)2(3)(33)E()E()E()E(41212110204121211020221102122124144−−−−−−−−++=++=+=⋅=Ψ=Ψ=Ψ=tttttttttttttttEEEEhEhEhEEεαεαααεαεαααεααηηεε()()2221202111204)(3)1(3)31)(1(13)E(ttEεααααααε=−≥−−+=()3)()E(224≥ttEεεARCH„令„表明服从AR(q)过程，即q阶自回归模型。„这样，象识别自回归模型阶数那样，的自相关函数和偏相关函数可用以识别ARCH过程的阶数。ttth−=2ενtqjjtjttthνεαανε++=+=∑=−12022tε2tεGARCH模型„Bollerlev(1986)提出的GARCH(p,q)模型为„为了保证条件方差非负性，α00，αj≥0，j=1,…,q，βj≥0，j=1,…,p。„在ARCH(q)过程中，ht是过