ARCH模型

当代计量经济模型体系回归分析单位根检验时间序列回归ARIMA（时间序列）模型SARIMA（季节时间序列）模型GAR（广义自回归）模型TAR、STAR（门限自回归、平滑转移）模型BL（双线性）模型ARCH、GARCH（自回归条件异方差）模型SV（随机波动）模型ACD、SCD（自回归、随机条件久期）模型研究VAR、VEC（向量自回归、误差修正）模型联立方程模型（结构、简化型、递归模型）PANEL（面板数据）模型、空间计量模型DS（离散选择）模型、有序响应、计数模型LDV（受限因变量）模型（删失、截断模型）单方程（线性、非线性）、分位数回归模型线性时间序列非线性时间序列波动模型截面数据回归时间序列分析向量序列单序列时间序列的加法、乘法模型，X12季节调整蒙特卡罗模拟技术波动模型种类波动模型ACD（自回归条件久期）模型MSACD模型SCD（随机条件久期）模型MSSCD模型ARCH模型TARCH模型EARCH模型ABSARCH模型ARCH-M模型ABSARCH-M模型FIARCH模型GARCH模型TGARCH模型EGARCH-M模型ABSGARCH模型GARCH-M模型ABSGARCH-M模型FIGARCH模型SV（随机波动）模型SV-M模型MSSV模型LMSV模型ARCH模型简介ARCH模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。目前所有的波动率模型中,ARCH类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。ARCH模型基本思想在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合(即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方差模型。（1）ARCH模型xt=0+1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+utt2=E(ut2)=0+1ut-12+2ut-22+…+qut-q2（2）GARCH模型xt=0+1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+utt2=0+1ut–12+1t-12（3）TGARCH模型t2=0+1ut–12+ut–12dt–1+1t-12其中0,10,0tttuudTARCH模型对于利好和利坏消息反应是不一样的。均值方程方差方程（4）ABSGARCH/ARCH模型与ARCH(p,q)模型比较，ut-i代替了ut-i2。采用绝对值形式减小了ut2的幅度。t2=0+qii1ut-i+pjjtj12（5）EGARCH模型另一种保证方差为正的模型形式是指数GARCH（exponentialGARCH），记为EGARCH（Nelson1991年提出）。其形式是Ln(t2)=0+qiititiu1+qiititiu1+pjjtjLn12)(其中在ut服从正态分布的假定下，=Ettu=5.02=0.798ititu是ARCH项。ititu描述利好、利坏的差异。3．非线性时间序列模型（6）GARCH-M，ABSGARCH-M和EGARCH-M模型把波动项引入相对应的均值方程中。yt=xt'+2t+ut（7）FIGARCH模型Ln(t2)=+(L)-1(1-L)-d[1+(L)]f(ut-1)f(ut)=ut+[ut-Eut]，E[f(ut)]=0d0.5时，FIEGARCH具有二阶平稳性和可逆性。此模型既具有EGARCH模型特点。负冲击似乎比正冲击更容易增加波动，又具有长记忆性。（8）PowerARCH/GARCH（PARCH，PGARCH）模型(幂ARCH/GARCH模型)qjkjtjkitipiitiktuu110)(其中k0,i1,i=1,2,…,r。对于ir,有i=0。对r的约束是rp。参数i用来考查1r期的非对称性。如果是对称的，对于全部的i，有i=0。注意：（1）如果k=2，i=0，（对于全部的i）。PARCH模型退化为GARCH模型。（2）如果i0，说明系统存在杠杆效应。序列的特征是“波动集群”、分布是“高峰厚尾”-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY)(1995-2000)日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)高峰厚尾分布特征示意图高峰厚尾分布曲线正态分布曲线ARCH，GARCH模型可以预测被解释变量的方差。对于金融时间序列预测的是风险。建立ARCH，GARCH模型可以提高均值方程参数估计的有效性。案例：深圳综指的建模研究选取深圳综指2007.1.4-2009.3.30间每个交易日收盘价P（共544个有效样本数据）作为样本序列。用深圳综合指数收益率Rt=ln(pt/pt-1)建立时间序列模型（共543个有效样本数据）。Rt描述性统计（尖峰厚尾）深证综指日收益率峰度为3.755，高于正态分布的峰度值3，说明深证综指具有一定的尖峰厚尾的特征，J-B检验也证实了深证综指日收益率的分布显著异于正态分布。View-DescriptiveStatistics-HistogramandStats平稳性检验如果变量的时间序列是非平稳的，即使使用最小二乘法拟合模型的效果很好，建立的模型也可能由于序列的非平稳性而导致伪回归。因此，有必要在对时间序列分析前，先对序列的平稳性进行检验。Quick-seriesstatistics-unitroottest平稳性检验结果单位根检验平稳性检验结论在1%、5%、10%的显著性水平之下，都拒绝有一个单位根的假设，说明深证综指收益率平稳。这个结果与国外学者对发达成熟市场波动性的研究一致：金融资产的价格一般是非平稳的，而收益率序列通常是平稳的。自相关检验从深证综指收益率的自相关图可知:深证综指收益率与滞后1阶、4阶相关性相对较强，因此，应建立深证综指日收益率的自回归模型对深证综指收益率进行修正。Quick-seriesstatistics-correlogram均值方程估计由上述自相关（偏自相关）检验可知，应建立一个AR（4）模型。即：Rt=a1Rt-1+a2Rt-4+ut命令：LSRR(-1)R(-4)参数估计由参数估计结果可得以下结果：Rt=0.068Rt-1+0.121Rt-4+ut(0.043)(0.043)标准差ARCH模型的选择残差图显示模型存在自回归条件异方差ARCH-LM效应检验由于股票市场的股票价格及收益率的预测误差常常是成群出现而呈现出异方差，因此，有必要对深证综指收益率自回归模型的残差是否存在条件异方差(ARCH)进行检验。ARCH-LM检验是检验模型的残差系列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验,该检验的原假设：残差系列中直到p阶都不存在ARCH效应。ARCH-LM效应检验结果View-residualtest-ARCHtestF统计量及T×R2统计量的P值都小于0.05，因此，在5%的显著性水平下，深证综指收益率自回归模型的残差存在ARCH效应。滞后阶数选择1阶（2阶及以后阶数P值无1阶显著）1阶相比较而言，4阶又比2、3、5及5阶以后的残差更具显著性2阶3阶4阶5阶方差方程估计——ARCH模型Quick-estimateequation-ARCHσ2t=α0+αu2t-1σ2t=0.000646+0.1124u2t-1(14.3753)(2.0105)（经检验ARCH滞后阶数选择1阶拟合效果是最好的）方差方程估计——GARCH模型滞后项中1、4、9阶显著，阶数较多可以尝试建立GARCH模型，这里尝试建立GARCH（1，1）模型。方差方程估计——GARCH模型GARCH（1，1）模型是指含有一个ARCH项，一个GARCH项。即：σ2t=α0+αu2t-1+βσ2t-1σ2t=0.0001+0.0846u2t-1+0.7788σ2t-1（1.9870）（2.3376）（8.6083）（经检验GARCH滞后阶数选择1阶拟合效果是最好的,同时，回归结果也显示，均值方程系数显著性下降，故GARCH模型拟合效果不太理想）方差方程估计——GARCH模型一般的，GARCH（p，q）,p是GARCH项的最大滞后阶数，q是ARCH项的最大滞后阶数。GARCH模型更一般的形式是：当所有项都等于0时，GARCH（p，q）模型变成了纯ARCH（q）模型。2tp1j2jtq1i2i-t=方差方程估计——TARCH模型建立TARCH模型检验新息冲击曲线的对称性:σ2t=α0+α∑u2t-1+γu2t-1I-t-1+β∑σ2t-1σ2t=2.38E-06+0.1310u2t-1-0.1591u2t-1I-t-1+0.9598σ2t-1（0.4193）(4.1258)(-4.4090)(69.0708)(经检验，TARCH项滞后阶数选择1阶拟合效果是最好的)方差方程估计——TARCH模型方差方程中I-t-1项为非对称项效应，它是用来度量好消息(ut0)和坏消息(ut0)对条件方差的影响。好消息（此时，I-t-1=0）对条件方差有一个α倍的冲击，坏消息（I-t-1=1）对条件方差有一个（α+γ）倍的冲击。如果γ大于0，则说明条件方差存在杠杆效应。但回归结果显示，γ小于0，没有检验到杠杆效应，说明坏消息并没有使股市的波动加大，其实，资本市场中，更为普遍的是资产的向下运动通常伴随着比之程度更强的向上运动。非对称效应的波动将使得收益率的条件方差波动加大，不利消息比有利消息对深证综指收益率的冲击要大。最优拟合模型——TARCH模型综合以上三种模型，相比较ARCH、GARCH模型而言，TARCH模型无论从均值方程系数显著性（P值）还是从方程方程系数的显著性来看，都是最优的。故用TARCH模型建立最终拟合的方程：Rt=0.0827Rt-1+0.0854Rt-4+ut（0.0302）（0.0157）σ2t=2.38E-06+0.1310u2t-1-0.1591u2t-1I-t-1+0.9598σ2t-1（0.4193）(4.1258***)(-4.4090***)(69.0708***)深证综指收益率TARCH模型残差的ARCH检验——ARCH-LM检验建立的TARCH模型是否显著的消除了深证综指收益率自回归模型的条件异方差需要利用ARCH-LM检验来判断。深证综指收益率TARCH模型残差的ARCH检验——残差平方相关图检验ARCH检验结论显然，无论是ARCH-LM检验还是残差相关图检验，都显示P值很大，即残差的自相关关系不再显著，最终剩余的残差是真正的白噪声。残差ARCH效应检验结果表明深证综指收益率的自相关修正后的TARCH模型的残差系列不存在ARCH效应，即含有一阶非对称效应TARCH模型较好的消除了深证综指收益率残差的条件异方差。因此，深证综指日收益率的TARCH模型能较好的反映收益率的波动变化。总结ARCH模型通常对主体模型的随机扰动项进行建模分析。以便充分的提取残差中的信息，使得最终的模型残差ηt成为白噪声序列。该残差最终消除了深证综指收益率波动的集群效应（即方差具有记忆性），这便是模型的精髓。整体思路：1、自相关——均值方程2、ARCH效应检验——方差方程（初步提取残差中的相关信息）3、建模——最终残差（白噪声）